Интеграл 1/(3-sin(x)) (dx)

Вы ввели

  1                
  /                
 |                 
 |        1        
 |  1*---------- dx
 |    3 - sin(x)   
 |                 
/                  
0                  

$$\int\limits_{0}^{1} 1 \cdot \frac{1}{3 - \sin{\left(x \right)}}\, dx$$

Подробное решение

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $1 \cdot \frac{1}{3 - \sin{\left(x \right)}} = - \frac{1}{\sin{\left(x \right)} - 3}$

2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

   $\int \left(- \frac{1}{\sin{\left(x \right)} - 3}\right)\, dx = - \int \frac{1}{\sin{\left(x \right)} - 3}\, dx$

   1. Не могу найти шаги в поиске этот интеграла.

      Но интеграл

      $- \frac{\sqrt{2} \left(\operatorname{atan}{\left(\frac{3 \sqrt{2} \tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4} \right)} + \pi \left\lfloor{\frac{\frac{x}{2} - \frac{\pi}{2}}{\pi}}\right\rfloor\right)}{2}$

   Таким образом, результат будет: $\frac{\sqrt{2} \left(\operatorname{atan}{\left(\frac{3 \sqrt{2} \tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4} \right)} + \pi \left\lfloor{\frac{\frac{x}{2} - \frac{\pi}{2}}{\pi}}\right\rfloor\right)}{2}$

3. Теперь упростить:

   $\frac{\sqrt{2} \left(\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \cdot \left(3 \tan{\left(\frac{x}{2} \right)} - 1\right)}{4} \right)} + \pi \left\lfloor{\frac{x}{2 \pi} - \frac{1}{2}}\right\rfloor\right)}{2}$

4. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{\sqrt{2} \left(\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \cdot \left(3 \tan{\left(\frac{x}{2} \right)} - 1\right)}{4} \right)} + \pi \left\lfloor{\frac{x}{2 \pi} - \frac{1}{2}}\right\rfloor\right)}{2}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{\sqrt{2} \left(\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \cdot \left(3 \tan{\left(\frac{x}{2} \right)} - 1\right)}{4} \right)} + \pi \left\lfloor{\frac{x}{2 \pi} - \frac{1}{2}}\right\rfloor\right)}{2}+ \mathrm{constant}$

Ответ

      /          /  ___       ___         \\         /          /  ___\\
  ___ |          |\/ 2    3*\/ 2 *tan(1/2)||     ___ |          |\/ 2 ||
\/ 2 *|-pi - atan|----- - ----------------||   \/ 2 *|-pi - atan|-----||
      \          \  4            4        //         \          \  4  //
-------------------------------------------- - -------------------------
                     2                                     2            

$$\frac{\sqrt{2} \left(- \pi - \operatorname{atan}{\left(- \frac{3 \sqrt{2} \tan{\left(\frac{1}{2} \right)}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} \right)}\right)}{2} - \frac{\sqrt{2} \left(- \pi - \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2}}{4} \right)}\right)}{2}$$

=

=

      /          /  ___       ___         \\         /          /  ___\\
  ___ |          |\/ 2    3*\/ 2 *tan(1/2)||     ___ |          |\/ 2 ||
\/ 2 *|-pi - atan|----- - ----------------||   \/ 2 *|-pi - atan|-----||
      \          \  4            4        //         \          \  4  //
-------------------------------------------- - -------------------------
                     2                                     2            

$$\frac{\sqrt{2} \left(- \pi - \operatorname{atan}{\left(- \frac{3 \sqrt{2} \tan{\left(\frac{1}{2} \right)}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} \right)}\right)}{2} - \frac{\sqrt{2} \left(- \pi - \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2}}{4} \right)}\right)}{2}$$

Численный ответ

0.397391401066639

Ответ (Неопределённый)

                               /        /x   pi\       /              ___    /x\\\
                               |        |- - --|       |    ___   3*\/ 2 *tan|-|||
  /                        ___ |        |2   2 |       |  \/ 2               \2/||
 |                       \/ 2 *|pi*floor|------| + atan|- ----- + --------------||
 |       1                     \        \  pi  /       \    4           4       //
 | 1*---------- dx = C + ---------------------------------------------------------
 |   3 - sin(x)                                      2                            
 |                                                                                
/                                                                                 

$$\int 1 \cdot \frac{1}{3 - \sin{\left(x \right)}}\, dx = C + \frac{\sqrt{2} \left(\operatorname{atan}{\left(\frac{3 \sqrt{2} \tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4} \right)} + \pi \left\lfloor{\frac{\frac{x}{2} - \frac{\pi}{2}}{\pi}}\right\rfloor\right)}{2}$$

График