Интеграл 1/(y-x) (dx)

Вы ввели

  1         
  /         
 |          
 |    1     
 |  ----- dx
 |  y - x   
 |          
/           
0           

$$\int_{0}^{1} \frac{1}{- x + y}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = - x + y$.

      Тогда пусть $du = - dx$ и подставим $- du$:

      $\int \frac{1}{u}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{1}{u}\, du = - \int \frac{1}{u}\, du$

         1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

         Таким образом, результат будет: $- \log{\left (u \right )}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- \log{\left (- x + y \right )}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{1}{- x + y} = - \frac{1}{x - y}$

   2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - \frac{1}{x - y}\, dx = - \int \frac{1}{x - y}\, dx$

      1. пусть $u = x - y$.

         Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

         $\int \frac{1}{u}\, du$

         1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\log{\left (x - y \right )}$

      Таким образом, результат будет: $- \log{\left (x - y \right )}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- \log{\left (- x + y \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$- \log{\left (- x + y \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                 
  /                                 
 |                                  
 |    1                             
 |  ----- dx = -log(1 - y) + log(-y)
 |  y - x                           
 |                                  
/                                   
0                                   

$$\int_{0}^{1} \frac{1}{- x + y}\, dx = \log{\left (- y \right )} - \log{\left (- y + 1 \right )}$$

Ответ (Неопределённый)

  /                         
 |                          
 |   1                      
 | ----- dx = C - log(y - x)
 | y - x                    
 |                          
/                           

$$-\log \left(y-x\right)$$