Интеграл 1/x/log(x) (dx)

Вы ввели

  1              
  /              
 |               
 |    1   1      
 |  1*-*------ dx
 |    x log(x)   
 |               
/                
0                

$$\int\limits_{0}^{1} 1 \cdot \frac{1}{x} \frac{1}{\log{\left(x \right)}}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = \frac{1}{x}$.

      Тогда пусть $du = - \frac{dx}{x^{2}}$ и подставим $- du$:

      $\int \frac{1}{u \log{\left(\frac{1}{u} \right)}}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- \frac{1}{u \log{\left(\frac{1}{u} \right)}}\right)\, du = - \int \frac{1}{u \log{\left(\frac{1}{u} \right)}}\, du$

         1. пусть $u = \log{\left(\frac{1}{u} \right)}$.

            Тогда пусть $du = - \frac{du}{u}$ и подставим $- du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \left(- \frac{1}{u}\right)\, du = - \int \frac{1}{u}\, du$

               1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$.

               Таким образом, результат будет: $- \log{\left(u \right)}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $- \log{\left(\log{\left(\frac{1}{u} \right)} \right)}$

         Таким образом, результат будет: $\log{\left(\log{\left(\frac{1}{u} \right)} \right)}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\log{\left(\log{\left(x \right)} \right)}$

   Метод #2

   1. пусть $u = \log{\left(x \right)}$.

      Тогда пусть $du = \frac{dx}{x}$ и подставим $du$:

      $\int \frac{1}{u}\, du$

      1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$.

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\log{\left(\log{\left(x \right)} \right)}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\log{\left(\log{\left(x \right)} \right)}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\log{\left(\log{\left(x \right)} \right)}+ \mathrm{constant}$

Ответ

-oo

$$-\infty$$

=

=

-oo

$$-\infty$$

Численный ответ

-47.8772101199067

Ответ (Неопределённый)

  /                               
 |                                
 |   1   1                        
 | 1*-*------ dx = C + log(log(x))
 |   x log(x)                     
 |                                
/                                 

$$\int 1 \cdot \frac{1}{x} \frac{1}{\log{\left(x \right)}}\, dx = C + \log{\left(\log{\left(x \right)} \right)}$$