Интеграл 1/(x-2)^4 (dx)

Вы ввели

  1            
  /            
 |             
 |     1       
 |  -------- dx
 |         4   
 |  (x - 2)    
 |             
/              
0              

$$\int_{0}^{1} \frac{1}{\left(x - 2\right)^{4}}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{1}{\left(x - 2\right)^{4}} = \frac{1}{\left(x - 2\right)^{4}}$

   2. пусть $u = x - 2$.

      Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

      $\int \frac{1}{u^{4}}\, du$

      1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

         $\int \frac{1}{u^{4}}\, du = - \frac{1}{3 u^{3}}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- \frac{1}{3 \left(x - 2\right)^{3}}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{1}{\left(x - 2\right)^{4}} = \frac{1}{x^{4} - 8 x^{3} + 24 x^{2} - 32 x + 16}$

   2. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{1}{x^{4} - 8 x^{3} + 24 x^{2} - 32 x + 16} = \frac{1}{\left(x - 2\right)^{4}}$

   3. пусть $u = x - 2$.

      Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

      $\int \frac{1}{u^{4}}\, du$

      1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

         $\int \frac{1}{u^{4}}\, du = - \frac{1}{3 u^{3}}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- \frac{1}{3 \left(x - 2\right)^{3}}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- \frac{1}{3 \left(x - 2\right)^{3}}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$- \frac{1}{3 \left(x - 2\right)^{3}}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                   
  /                   
 |                    
 |     1              
 |  -------- dx = 7/24
 |         4          
 |  (x - 2)           
 |                    
/                     
0                     

$${{7}\over{24}}$$

Численный ответ

0.291666666666667

Ответ (Неопределённый)

  /                             
 |                              
 |    1                   1     
 | -------- dx = C - -----------
 |        4                    3
 | (x - 2)           3*(-2 + x) 
 |                              
/                               

$$-{{1}\over{3\,\left(x-2\right)^3}}$$