Интеграл 1/(x-1/x) (dx)

Вы ввели

  1         
  /         
 |          
 |    1     
 |  ----- dx
 |      1   
 |  x - -   
 |      x   
 |          
/           
0           

$$\int_{0}^{1} \frac{1}{x - \frac{1}{x}}\, dx$$

Подробное решение

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\frac{1}{x - \frac{1}{x}} = \frac{1}{2 x + 2} + \frac{1}{2 x - 2}$

2. Интегрируем почленно:

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \frac{1}{2 x + 2}\, dx = \frac{1}{2} \int \frac{1}{x + 1}\, dx$

      1. пусть $u = x + 1$.

         Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

         $\int \frac{1}{u}\, du$

         1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\log{\left (x + 1 \right )}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{1}{2} \log{\left (x + 1 \right )}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \frac{1}{2 x - 2}\, dx = \frac{1}{2} \int \frac{1}{x - 1}\, dx$

      1. пусть $u = x - 1$.

         Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

         $\int \frac{1}{u}\, du$

         1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\log{\left (x - 1 \right )}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{1}{2} \log{\left (x - 1 \right )}$

   Результат есть: $\frac{1}{2} \log{\left (x - 1 \right )} + \frac{1}{2} \log{\left (x + 1 \right )}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{1}{2} \log{\left (x - 1 \right )} + \frac{1}{2} \log{\left (x + 1 \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{1}{2} \log{\left (x - 1 \right )} + \frac{1}{2} \log{\left (x + 1 \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                      
  /                      
 |                       
 |    1              pi*I
 |  ----- dx = -oo - ----
 |      1             2  
 |  x - -                
 |      x                
 |                       
/                        
0                        

$${\it \%a}$$

Численный ответ

-21.6988872369215

Ответ (Неопределённый)

  /                                       
 |                                        
 |   1            log(1 + x)   log(-1 + x)
 | ----- dx = C + ---------- + -----------
 |     1              2             2     
 | x - -                                  
 |     x                                  
 |                                        
/                                         

$${{\log \left(x+1\right)}\over{2}}+{{\log \left(x-1\right)}\over{2}}$$