Интеграл 1/(x+1)^4 (dx)

Вы ввели

  1            
  /            
 |             
 |     1       
 |  -------- dx
 |         4   
 |  (x + 1)    
 |             
/              
0              

$$\int_{0}^{1} \frac{1}{\left(x + 1\right)^{4}}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{1}{\left(x + 1\right)^{4}} = \frac{1}{\left(x + 1\right)^{4}}$

   2. пусть $u = x + 1$.

      Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

      $\int \frac{1}{u^{4}}\, du$

      1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

         $\int \frac{1}{u^{4}}\, du = - \frac{1}{3 u^{3}}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- \frac{1}{3 \left(x + 1\right)^{3}}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{1}{\left(x + 1\right)^{4}} = \frac{1}{x^{4} + 4 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x + 1}$

   2. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{1}{x^{4} + 4 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x + 1} = \frac{1}{\left(x + 1\right)^{4}}$

   3. пусть $u = x + 1$.

      Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

      $\int \frac{1}{u^{4}}\, du$

      1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

         $\int \frac{1}{u^{4}}\, du = - \frac{1}{3 u^{3}}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- \frac{1}{3 \left(x + 1\right)^{3}}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- \frac{1}{3 \left(x + 1\right)^{3}}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$- \frac{1}{3 \left(x + 1\right)^{3}}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                   
  /                   
 |                    
 |     1              
 |  -------- dx = 7/24
 |         4          
 |  (x + 1)           
 |                    
/                     
0                     

$${{7}\over{24}}$$

Численный ответ

0.291666666666667

Ответ (Неопределённый)

  /                            
 |                             
 |    1                  1     
 | -------- dx = C - ----------
 |        4                   3
 | (x + 1)           3*(1 + x) 
 |                             
/                              

$$-{{1}\over{3\,\left(x+1\right)^3}}$$