Интеграл 1/(x+1)^3 (dx)

Вы ввели

  1            
  /            
 |             
 |     1       
 |  -------- dx
 |         3   
 |  (x + 1)    
 |             
/              
0              

$$\int_{0}^{1} \frac{1}{\left(x + 1\right)^{3}}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{1}{\left(x + 1\right)^{3}} = \frac{1}{\left(x + 1\right)^{3}}$

   2. пусть $u = x + 1$.

      Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

      $\int \frac{1}{u^{3}}\, du$

      1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

         $\int \frac{1}{u^{3}}\, du = - \frac{1}{2 u^{2}}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- \frac{1}{2 \left(x + 1\right)^{2}}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{1}{\left(x + 1\right)^{3}} = \frac{1}{x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1}$

   2. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{1}{x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1} = \frac{1}{\left(x + 1\right)^{3}}$

   3. пусть $u = x + 1$.

      Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

      $\int \frac{1}{u^{3}}\, du$

      1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

         $\int \frac{1}{u^{3}}\, du = - \frac{1}{2 u^{2}}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- \frac{1}{2 \left(x + 1\right)^{2}}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- \frac{1}{2 \left(x + 1\right)^{2}}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$- \frac{1}{2 \left(x + 1\right)^{2}}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                  
  /                  
 |                   
 |     1             
 |  -------- dx = 3/8
 |         3         
 |  (x + 1)          
 |                   
/                    
0                    

$${{3}\over{8}}$$

Численный ответ

0.375

Ответ (Неопределённый)

  /                            
 |                             
 |    1                  1     
 | -------- dx = C - ----------
 |        3                   2
 | (x + 1)           2*(1 + x) 
 |                             
/                              

$$-{{1}\over{2\,\left(x+1\right)^2}}$$