Интеграл 1/(x*(4-x)) (dx)

Вы ввели

  1             
  /             
 |              
 |      1       
 |  --------- dx
 |  x*(4 - x)   
 |              
/               
0               

$$\int_{0}^{1} \frac{1}{x \left(- x + 4\right)}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{1}{x \left(- x + 4\right)} = - \frac{1}{4 x - 16} + \frac{1}{4 x}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - \frac{1}{4 x - 16}\, dx = - \frac{1}{4} \int \frac{1}{x - 4}\, dx$

         1. пусть $u = x - 4$.

            Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\log{\left (x - 4 \right )}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{4} \log{\left (x - 4 \right )}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{1}{4 x}\, dx = \frac{1}{4} \int \frac{1}{x}\, dx$

         1. Интеграл $\frac{1}{x}$ есть $\log{\left (x \right )}$.

         Таким образом, результат будет: $\frac{1}{4} \log{\left (x \right )}$

      Результат есть: $\frac{1}{4} \log{\left (x \right )} - \frac{1}{4} \log{\left (x - 4 \right )}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{1}{x \left(- x + 4\right)} = \frac{1}{- x^{2} + 4 x}$

   2. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{1}{- x^{2} + 4 x} = - \frac{1}{4 x - 16} + \frac{1}{4 x}$

   3. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - \frac{1}{4 x - 16}\, dx = - \frac{1}{4} \int \frac{1}{x - 4}\, dx$

         1. пусть $u = x - 4$.

            Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\log{\left (x - 4 \right )}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{4} \log{\left (x - 4 \right )}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{1}{4 x}\, dx = \frac{1}{4} \int \frac{1}{x}\, dx$

         1. Интеграл $\frac{1}{x}$ есть $\log{\left (x \right )}$.

         Таким образом, результат будет: $\frac{1}{4} \log{\left (x \right )}$

      Результат есть: $\frac{1}{4} \log{\left (x \right )} - \frac{1}{4} \log{\left (x - 4 \right )}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{1}{4} \log{\left (x \right )} - \frac{1}{4} \log{\left (x - 4 \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{1}{4} \log{\left (x \right )} - \frac{1}{4} \log{\left (x - 4 \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                         
  /                         
 |                          
 |      1               pi*I
 |  --------- dx = oo - ----
 |  x*(4 - x)            4  
 |                          
/                           
0                           

$${\it \%a}$$

Численный ответ

11.0945320516112

Ответ (Неопределённый)

  /                                       
 |                                        
 |     1              log(-4 + x)   log(x)
 | --------- dx = C - ----------- + ------
 | x*(4 - x)               4          4   
 |                                        
/                                         

$${{\log x}\over{4}}-{{\log \left(x-4\right)}\over{4}}$$