Интеграл 1/(x*(x-2)) (dx)

Вы ввели

  1               
  /               
 |                
 |        1       
 |  1*--------- dx
 |    x*(x - 2)   
 |                
/                 
0                 

$$\int\limits_{0}^{1} 1 \cdot \frac{1}{x \left(x - 2\right)}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{1}{x \left(x - 2\right)} = \frac{1}{2 x - 4} - \frac{1}{2 x}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{1}{2 x - 4}\, dx = \frac{1}{2} \int \frac{1}{x - 2}\, dx$

         1. пусть $u = x - 2$.

            Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\log{\left (x - 2 \right )}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{1}{2} \log{\left (x - 2 \right )}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - \frac{1}{2 x}\, dx = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{x}\, dx$

         1. Интеграл $\frac{1}{x}$ есть $\log{\left (x \right )}$.

         Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{2} \log{\left (x \right )}$

      Результат есть: $- \frac{1}{2} \log{\left (x \right )} + \frac{1}{2} \log{\left (x - 2 \right )}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{1}{x \left(x - 2\right)} = \frac{1}{x^{2} - 2 x}$

   2. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{1}{x^{2} - 2 x} = \frac{1}{2 x - 4} - \frac{1}{2 x}$

   3. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{1}{2 x - 4}\, dx = \frac{1}{2} \int \frac{1}{x - 2}\, dx$

         1. пусть $u = x - 2$.

            Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\log{\left (x - 2 \right )}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{1}{2} \log{\left (x - 2 \right )}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - \frac{1}{2 x}\, dx = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{x}\, dx$

         1. Интеграл $\frac{1}{x}$ есть $\log{\left (x \right )}$.

         Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{2} \log{\left (x \right )}$

      Результат есть: $- \frac{1}{2} \log{\left (x \right )} + \frac{1}{2} \log{\left (x - 2 \right )}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- \frac{1}{2} \log{\left (x \right )} + \frac{1}{2} \log{\left (x - 2 \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$- \frac{1}{2} \log{\left (x \right )} + \frac{1}{2} \log{\left (x - 2 \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

      pi*I
-oo + ----
       2  

$$-\infty + \frac{i \pi}{2}$$

=

=

      pi*I
-oo + ----
       2  

$$-\infty + \frac{i \pi}{2}$$

Численный ответ

-22.3917966572764

Ответ (Неопределённый)

  /                                         
 |                                          
 |       1              log(-2 + x)   log(x)
 | 1*--------- dx = C + ----------- - ------
 |   x*(x - 2)               2          2   
 |                                          
/                                           

$$\int 1 \cdot \frac{1}{x \left(x - 2\right)}\, dx = C - \frac{\log{\left(x \right)}}{2} + \frac{\log{\left(x - 2 \right)}}{2}$$