Интеграл 1/(x*(x-1)) (dx)

Вы ввели

  1             
  /             
 |              
 |      1       
 |  --------- dx
 |  x*(x - 1)   
 |              
/               
0               

$$\int_{0}^{1} \frac{1}{x \left(x - 1\right)}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{1}{x \left(x - 1\right)} = \frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. пусть $u = x - 1$.

         Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

         $\int \frac{1}{u}\, du$

         1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\log{\left (x - 1 \right )}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - \frac{1}{x}\, dx = - \int \frac{1}{x}\, dx$

         1. Интеграл $\frac{1}{x}$ есть $\log{\left (x \right )}$.

         Таким образом, результат будет: $- \log{\left (x \right )}$

      Результат есть: $- \log{\left (x \right )} + \log{\left (x - 1 \right )}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{1}{x \left(x - 1\right)} = \frac{1}{x^{2} - x}$

   2. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{1}{x^{2} - x} = \frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x}$

   3. Интегрируем почленно:

      1. пусть $u = x - 1$.

         Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

         $\int \frac{1}{u}\, du$

         1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\log{\left (x - 1 \right )}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - \frac{1}{x}\, dx = - \int \frac{1}{x}\, dx$

         1. Интеграл $\frac{1}{x}$ есть $\log{\left (x \right )}$.

         Таким образом, результат будет: $- \log{\left (x \right )}$

      Результат есть: $- \log{\left (x \right )} + \log{\left (x - 1 \right )}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- \log{\left (x \right )} + \log{\left (x - 1 \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$- \log{\left (x \right )} + \log{\left (x - 1 \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                   
  /                   
 |                    
 |      1             
 |  --------- dx = -oo
 |  x*(x - 1)         
 |                    
/                     
0                     

$${\it \%a}$$

Численный ответ

-88.1814029202124

Ответ (Неопределённый)

  /                                       
 |                                        
 |     1                                  
 | --------- dx = C - log(x) + log(-1 + x)
 | x*(x - 1)                              
 |                                        
/                                         

$$\log \left(x-1\right)-\log x$$