Интеграл 1/(x*(x+1)) (dx)

Вы ввели

  1             
  /             
 |              
 |      1       
 |  --------- dx
 |  x*(x + 1)   
 |              
/               
0               

$$\int_{0}^{1} \frac{1}{x \left(x + 1\right)}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{1}{x \left(x + 1\right)} = - \frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - \frac{1}{x + 1}\, dx = - \int \frac{1}{x + 1}\, dx$

         1. пусть $u = x + 1$.

            Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\log{\left (x + 1 \right )}$

         Таким образом, результат будет: $- \log{\left (x + 1 \right )}$

      1. Интеграл $\frac{1}{x}$ есть $\log{\left (x \right )}$.

      Результат есть: $\log{\left (x \right )} - \log{\left (x + 1 \right )}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{1}{x \left(x + 1\right)} = \frac{1}{x^{2} + x}$

   2. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{1}{x^{2} + x} = - \frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x}$

   3. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - \frac{1}{x + 1}\, dx = - \int \frac{1}{x + 1}\, dx$

         1. пусть $u = x + 1$.

            Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\log{\left (x + 1 \right )}$

         Таким образом, результат будет: $- \log{\left (x + 1 \right )}$

      1. Интеграл $\frac{1}{x}$ есть $\log{\left (x \right )}$.

      Результат есть: $\log{\left (x \right )} - \log{\left (x + 1 \right )}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\log{\left (x \right )} - \log{\left (x + 1 \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\log{\left (x \right )} - \log{\left (x + 1 \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                  
  /                  
 |                   
 |      1            
 |  --------- dx = oo
 |  x*(x + 1)        
 |                   
/                    
0                    

$${\it \%a}$$

Численный ответ

43.3972989534329

Ответ (Неопределённый)

  /                                      
 |                                       
 |     1                                 
 | --------- dx = C - log(1 + x) + log(x)
 | x*(x + 1)                             
 |                                       
/                                        

$$\log x-\log \left(x+1\right)$$