Интеграл 1/(x^4-1) (dx)

Вы ввели

  1            
  /            
 |             
 |      1      
 |  1*------ dx
 |     4       
 |    x  - 1   
 |             
/              
0              

$$\int\limits_{0}^{1} 1 \cdot \frac{1}{x^{4} - 1}\, dx$$

Подробное решение

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $1 \cdot \frac{1}{x^{4} - 1} = - \frac{1}{2 \left(x^{2} + 1\right)} - \frac{1}{4 \left(x + 1\right)} + \frac{1}{4 \left(x - 1\right)}$

2. Интегрируем почленно:

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \left(- \frac{1}{2 \left(x^{2} + 1\right)}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{1}{x^{2} + 1}\, dx}{2}$

      1. Интеграл $\frac{1}{x^{2} + 1}$ есть $\operatorname{atan}{\left(x \right)}$.

      Таким образом, результат будет: $- \frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{2}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \left(- \frac{1}{4 \left(x + 1\right)}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{1}{x + 1}\, dx}{4}$

      1. пусть $u = x + 1$.

         Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

         $\int \frac{1}{u}\, du$

         1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$.

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\log{\left(x + 1 \right)}$

      Таким образом, результат будет: $- \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{4}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \frac{1}{4 \left(x - 1\right)}\, dx = \frac{\int \frac{1}{x - 1}\, dx}{4}$

      1. пусть $u = x - 1$.

         Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

         $\int \frac{1}{u}\, du$

         1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$.

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\log{\left(x - 1 \right)}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{\log{\left(x - 1 \right)}}{4}$

   Результат есть: $\frac{\log{\left(x - 1 \right)}}{4} - \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{4} - \frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{2}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{\log{\left(x - 1 \right)}}{4} - \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{4} - \frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{\log{\left(x - 1 \right)}}{4} - \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{4} - \frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$

Ответ

      pi*I
-oo - ----
       4  

$$-\infty - \frac{i \pi}{4}$$

=

=

      pi*I
-oo - ----
       4  

$$-\infty - \frac{i \pi}{4}$$

Численный ответ

-11.5887250733929

Ответ (Неопределённый)

  /                                                    
 |                                                     
 |     1             atan(x)   log(1 + x)   log(-1 + x)
 | 1*------ dx = C - ------- - ---------- + -----------
 |    4                 2          4             4     
 |   x  - 1                                            
 |                                                     
/                                                      

$$\int 1 \cdot \frac{1}{x^{4} - 1}\, dx = C + \frac{\log{\left(x - 1 \right)}}{4} - \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{4} - \frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{2}$$