Интеграл 1/x^(2/3) (dx)

Вы ввели

  1        
  /        
 |         
 |   1     
 |  ---- dx
 |   2/3   
 |  x      
 |         
/          
0          

$$\int_{0}^{1} \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = x^{\frac{2}{3}}$.

      Тогда пусть $du = \frac{2 dx}{3 \sqrt[3]{x}}$ и подставим $\frac{3 du}{2}$:

      $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = \frac{3}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du$

         1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}$

         Таким образом, результат будет: $3 \sqrt{u}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $3 \sqrt[3]{x}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} = \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$

   2. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

      $\int \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}\, dx = 3 \sqrt[3]{x}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $3 \sqrt[3]{x}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$3 \sqrt[3]{x}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1            
  /            
 |             
 |   1         
 |  ---- dx = 3
 |   2/3       
 |  x          
 |             
/              
0              

$$3$$

Численный ответ

2.9999987600149

Ответ (Неопределённый)

  /                     
 |                      
 |  1              3 ___
 | ---- dx = C + 3*\/ x 
 |  2/3                 
 | x                    
 |                      
/                       

$$3\,x^{{{1}\over{3}}}$$