Интеграл 1/x^n (dx)

Вы ввели

  1        
  /        
 |         
 |    1    
 |  1*-- dx
 |     n   
 |    x    
 |         
/          
0          

$$\int\limits_{0}^{1} 1 \cdot \frac{1}{x^{n}}\, dx$$

Подробное решение

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\frac{1}{x^{n}} = x^{- n}$

2. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

   $\int x^{- n}\, dx = \frac{x^{- n + 1}}{- n + 1}$

3. Теперь упростить:

   $- \frac{x^{- n + 1}}{n - 1}$

4. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- \frac{x^{- n + 1}}{n - 1}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$- \frac{x^{- n + 1}}{n - 1}+ \mathrm{constant}$

Ответ

/         1 - n                                  
|  1     0                                       
|----- - ------  for And(n > -oo, n < oo, n != 1)
<1 - n   1 - n                                   
|                                                
|      oo                   otherwise            
\                                                

$$\begin{cases} - \frac{0^{1 - n}}{1 - n} + \frac{1}{1 - n} & \text{for}\: n > -\infty \wedge n < \infty \wedge n \neq 1 \\\infty & \text{otherwise} \end{cases}$$

=

=

/         1 - n                                  
|  1     0                                       
|----- - ------  for And(n > -oo, n < oo, n != 1)
<1 - n   1 - n                                   
|                                                
|      oo                   otherwise            
\                                                

$$\begin{cases} - \frac{0^{1 - n}}{1 - n} + \frac{1}{1 - n} & \text{for}\: n > -\infty \wedge n < \infty \wedge n \neq 1 \\\infty & \text{otherwise} \end{cases}$$

Ответ (Неопределённый)

  /              //    -x                 \
 |               ||-----------  for n != 1|
 |   1           ||   n      n            |
 | 1*-- dx = C + |<- x  + n*x             |
 |    n          ||                       |
 |   x           ||  log(x)     otherwise |
 |               \\                       /
/                                          

$$\int 1 \cdot \frac{1}{x^{n}}\, dx = C + \begin{cases} - \frac{x}{n x^{n} - x^{n}} & \text{for}\: n \neq 1 \\\log{\left(x \right)} & \text{otherwise} \end{cases}$$