Интеграл 1/(x^6-1) (dx)

Вы ввели

  1          
  /          
 |           
 |    1      
 |  ------ dx
 |   6       
 |  x  - 1   
 |           
/            
0            

$$\int_{0}^{1} \frac{1}{x^{6} - 1}\, dx$$

Подробное решение

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\frac{1}{x^{6} - 1} = \frac{x - 2}{6 x^{2} - 6 x + 6} - \frac{x + 2}{6 x^{2} + 6 x + 6} - \frac{1}{6 x + 6} + \frac{1}{6 x - 6}$

2. Интегрируем почленно:

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \frac{x - 2}{6 x^{2} - 6 x + 6}\, dx = \frac{1}{6} \int \frac{x - 2}{x^{2} - x + 1}\, dx$

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\frac{x - 2}{x^{2} - x + 1} = \frac{x}{x^{2} - x + 1} - \frac{2}{x^{2} - x + 1}$

      2. Интегрируем почленно:

         1. Не могу найти шаги в поиске этот интеграла.

            Но интеграл

            $\frac{1}{2} \log{\left (x^{2} - x + 1 \right )} + \frac{\sqrt{3}}{3} \operatorname{atan}{\left (\frac{2 x}{3} \sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} \right )}$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int - \frac{2}{x^{2} - x + 1}\, dx = - 2 \int \frac{1}{x^{2} - x + 1}\, dx$

            1. Не могу найти шаги в поиске этот интеграла.

               Но интеграл

               $\frac{2 \sqrt{3}}{3} \operatorname{atan}{\left (\frac{2 x}{3} \sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} \right )}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{4 \sqrt{3}}{3} \operatorname{atan}{\left (\frac{2 x}{3} \sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} \right )}$

         Результат есть: $\frac{1}{2} \log{\left (x^{2} - x + 1 \right )} - \sqrt{3} \operatorname{atan}{\left (\frac{2 x}{3} \sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} \right )}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{1}{12} \log{\left (x^{2} - x + 1 \right )} - \frac{\sqrt{3}}{6} \operatorname{atan}{\left (\frac{2 x}{3} \sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} \right )}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - \frac{x + 2}{6 x^{2} + 6 x + 6}\, dx = - \frac{1}{6} \int \frac{x + 2}{x^{2} + x + 1}\, dx$

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\frac{x + 2}{x^{2} + x + 1} = \frac{x}{x^{2} + x + 1} + \frac{2}{x^{2} + x + 1}$

      2. Интегрируем почленно:

         1. Не могу найти шаги в поиске этот интеграла.

            Но интеграл

            $\frac{1}{2} \log{\left (x^{2} + x + 1 \right )} - \frac{\sqrt{3}}{3} \operatorname{atan}{\left (\frac{2 x}{3} \sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{3} \right )}$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{2}{x^{2} + x + 1}\, dx = 2 \int \frac{1}{x^{2} + x + 1}\, dx$

            1. Не могу найти шаги в поиске этот интеграла.

               Но интеграл

               $\frac{2 \sqrt{3}}{3} \operatorname{atan}{\left (\frac{2 x}{3} \sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{3} \right )}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{4 \sqrt{3}}{3} \operatorname{atan}{\left (\frac{2 x}{3} \sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{3} \right )}$

         Результат есть: $\frac{1}{2} \log{\left (x^{2} + x + 1 \right )} + \sqrt{3} \operatorname{atan}{\left (\frac{2 x}{3} \sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{3} \right )}$

      Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{12} \log{\left (x^{2} + x + 1 \right )} - \frac{\sqrt{3}}{6} \operatorname{atan}{\left (\frac{2 x}{3} \sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{3} \right )}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - \frac{1}{6 x + 6}\, dx = - \frac{1}{6} \int \frac{1}{x + 1}\, dx$

      1. пусть $u = x + 1$.

         Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

         $\int \frac{1}{u}\, du$

         1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\log{\left (x + 1 \right )}$

      Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{6} \log{\left (x + 1 \right )}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \frac{1}{6 x - 6}\, dx = \frac{1}{6} \int \frac{1}{x - 1}\, dx$

      1. пусть $u = x - 1$.

         Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

         $\int \frac{1}{u}\, du$

         1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\log{\left (x - 1 \right )}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{1}{6} \log{\left (x - 1 \right )}$

   Результат есть: $\frac{1}{6} \log{\left (x - 1 \right )} - \frac{1}{6} \log{\left (x + 1 \right )} + \frac{1}{12} \log{\left (x^{2} - x + 1 \right )} - \frac{1}{12} \log{\left (x^{2} + x + 1 \right )} - \frac{\sqrt{3}}{6} \operatorname{atan}{\left (\frac{2 x}{3} \sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} \right )} - \frac{\sqrt{3}}{6} \operatorname{atan}{\left (\frac{2 x}{3} \sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{3} \right )}$

3. Теперь упростить:

   $\frac{1}{6} \log{\left (x - 1 \right )} - \frac{1}{6} \log{\left (x + 1 \right )} + \frac{1}{12} \log{\left (x^{2} - x + 1 \right )} - \frac{1}{12} \log{\left (x^{2} + x + 1 \right )} - \frac{\sqrt{3}}{6} \operatorname{atan}{\left (\frac{\sqrt{3}}{3} \left(2 x - 1\right) \right )} - \frac{\sqrt{3}}{6} \operatorname{atan}{\left (\frac{\sqrt{3}}{3} \left(2 x + 1\right) \right )}$

4. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{1}{6} \log{\left (x - 1 \right )} - \frac{1}{6} \log{\left (x + 1 \right )} + \frac{1}{12} \log{\left (x^{2} - x + 1 \right )} - \frac{1}{12} \log{\left (x^{2} + x + 1 \right )} - \frac{\sqrt{3}}{6} \operatorname{atan}{\left (\frac{\sqrt{3}}{3} \left(2 x - 1\right) \right )} - \frac{\sqrt{3}}{6} \operatorname{atan}{\left (\frac{\sqrt{3}}{3} \left(2 x + 1\right) \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{1}{6} \log{\left (x - 1 \right )} - \frac{1}{6} \log{\left (x + 1 \right )} + \frac{1}{12} \log{\left (x^{2} - x + 1 \right )} - \frac{1}{12} \log{\left (x^{2} + x + 1 \right )} - \frac{\sqrt{3}}{6} \operatorname{atan}{\left (\frac{\sqrt{3}}{3} \left(2 x - 1\right) \right )} - \frac{\sqrt{3}}{6} \operatorname{atan}{\left (\frac{\sqrt{3}}{3} \left(2 x + 1\right) \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                       
  /                       
 |                        
 |    1               pi*I
 |  ------ dx = -oo - ----
 |   6                 6  
 |  x  - 1                
 |                        
/                         
0                         

$${\it \%a}$$

Численный ответ

-8.00901819290997

Ответ (Неопределённый)

                                                                                            /    ___         ___\             /  ___         ___\
  /                                                                                 ___     |  \/ 3    2*x*\/ 3 |     ___     |\/ 3    2*x*\/ 3 |
 |                                 /         2\                    /     2    \   \/ 3 *atan|- ----- + ---------|   \/ 3 *atan|----- + ---------|
 |   1             log(1 + x)   log\1 + x + x /   log(-1 + x)   log\1 + x  - x/             \    3         3    /             \  3         3    /
 | ------ dx = C - ---------- - --------------- + ----------- + --------------- - ------------------------------- - -----------------------------
 |  6                  6               12              6               12                        6                                6              
 | x  - 1                                                                                                                                        
 |                                                                                                                                               
/                                                                                                                                                

$$-{{\log \left(x^2+x+1\right)}\over{12}}+{{\log \left(x^2-x+1\right) }\over{12}}-{{\arctan \left({{2\,x+1}\over{\sqrt{3}}}\right)}\over{2 \,\sqrt{3}}}-{{\arctan \left({{2\,x-1}\over{\sqrt{3}}}\right)}\over{ 2\,\sqrt{3}}}-{{\log \left(x+1\right)}\over{6}}+{{\log \left(x-1 \right)}\over{6}}$$