Интеграл 1/(x^6+1) (dx)

Вы ввели

  1          
  /          
 |           
 |    1      
 |  ------ dx
 |   6       
 |  x  + 1   
 |           
/            
0            

$$\int_{0}^{1} \frac{1}{x^{6} + 1}\, dx$$

Подробное решение

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\frac{1}{x^{6} + 1} = - \frac{x^{2} - 2}{3 x^{4} - 3 x^{2} + 3} + \frac{1}{3 x^{2} + 3}$

2. Интегрируем почленно:

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - \frac{x^{2} - 2}{3 x^{4} - 3 x^{2} + 3}\, dx = - \frac{1}{3} \int \frac{x^{2} - 2}{x^{4} - x^{2} + 1}\, dx$

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\frac{x^{2} - 2}{x^{4} - x^{2} + 1} = \frac{x^{2}}{x^{4} - x^{2} + 1} - \frac{2}{x^{4} - x^{2} + 1}$

      2. Интегрируем почленно:

         1. Не могу найти шаги в поиске этот интеграла.

            Но интеграл

            $\frac{\sqrt{3}}{12} \log{\left (x^{2} - \sqrt{3} x + 1 \right )} - \frac{\sqrt{3}}{12} \log{\left (x^{2} + \sqrt{3} x + 1 \right )} + \frac{1}{2} \operatorname{atan}{\left (2 x - \sqrt{3} \right )} + \frac{1}{2} \operatorname{atan}{\left (2 x + \sqrt{3} \right )}$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int - \frac{2}{x^{4} - x^{2} + 1}\, dx = - 2 \int \frac{1}{x^{4} - x^{2} + 1}\, dx$

            1. Не могу найти шаги в поиске этот интеграла.

               Но интеграл

               $- \frac{\sqrt{3}}{12} \log{\left (x^{2} - \sqrt{3} x + 1 \right )} + \frac{\sqrt{3}}{12} \log{\left (x^{2} + \sqrt{3} x + 1 \right )} + \frac{1}{2} \operatorname{atan}{\left (2 x - \sqrt{3} \right )} + \frac{1}{2} \operatorname{atan}{\left (2 x + \sqrt{3} \right )}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{\sqrt{3}}{6} \log{\left (x^{2} - \sqrt{3} x + 1 \right )} - \frac{\sqrt{3}}{6} \log{\left (x^{2} + \sqrt{3} x + 1 \right )} - \operatorname{atan}{\left (2 x - \sqrt{3} \right )} - \operatorname{atan}{\left (2 x + \sqrt{3} \right )}$

         Результат есть: $\frac{\sqrt{3}}{4} \log{\left (x^{2} - \sqrt{3} x + 1 \right )} - \frac{\sqrt{3}}{4} \log{\left (x^{2} + \sqrt{3} x + 1 \right )} - \frac{1}{2} \operatorname{atan}{\left (2 x - \sqrt{3} \right )} - \frac{1}{2} \operatorname{atan}{\left (2 x + \sqrt{3} \right )}$

      Таким образом, результат будет: $- \frac{\sqrt{3}}{12} \log{\left (x^{2} - \sqrt{3} x + 1 \right )} + \frac{\sqrt{3}}{12} \log{\left (x^{2} + \sqrt{3} x + 1 \right )} + \frac{1}{6} \operatorname{atan}{\left (2 x - \sqrt{3} \right )} + \frac{1}{6} \operatorname{atan}{\left (2 x + \sqrt{3} \right )}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \frac{1}{3 x^{2} + 3}\, dx = \frac{1}{3} \int \frac{1}{x^{2} + 1}\, dx$

      1. Интеграл $\frac{1}{x^{2} + 1}$ есть $\operatorname{atan}{\left (x \right )}$.

      Таким образом, результат будет: $\frac{1}{3} \operatorname{atan}{\left (x \right )}$

   Результат есть: $- \frac{\sqrt{3}}{12} \log{\left (x^{2} - \sqrt{3} x + 1 \right )} + \frac{\sqrt{3}}{12} \log{\left (x^{2} + \sqrt{3} x + 1 \right )} + \frac{1}{3} \operatorname{atan}{\left (x \right )} + \frac{1}{6} \operatorname{atan}{\left (2 x - \sqrt{3} \right )} + \frac{1}{6} \operatorname{atan}{\left (2 x + \sqrt{3} \right )}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- \frac{\sqrt{3}}{12} \log{\left (x^{2} - \sqrt{3} x + 1 \right )} + \frac{\sqrt{3}}{12} \log{\left (x^{2} + \sqrt{3} x + 1 \right )} + \frac{1}{3} \operatorname{atan}{\left (x \right )} + \frac{1}{6} \operatorname{atan}{\left (2 x - \sqrt{3} \right )} + \frac{1}{6} \operatorname{atan}{\left (2 x + \sqrt{3} \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$- \frac{\sqrt{3}}{12} \log{\left (x^{2} - \sqrt{3} x + 1 \right )} + \frac{\sqrt{3}}{12} \log{\left (x^{2} + \sqrt{3} x + 1 \right )} + \frac{1}{3} \operatorname{atan}{\left (x \right )} + \frac{1}{6} \operatorname{atan}{\left (2 x - \sqrt{3} \right )} + \frac{1}{6} \operatorname{atan}{\left (2 x + \sqrt{3} \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                                                                 
  /                                                                                 
 |                  /      ___\            ___    /      ___\     ___    /      ___\
 |    1         atan\2 + \/ 3 /   7*pi   \/ 3 *log\2 - \/ 3 /   \/ 3 *log\2 + \/ 3 /
 |  ------ dx = --------------- + ---- - -------------------- + --------------------
 |   6                 6           72             12                     12         
 |  x  + 1                                                                          
 |                                                                                  
/                                                                                   
0                                                                                   

$${{\log \left(\sqrt{3}+2\right)}\over{4\,\sqrt{3}}}+{{\arctan \left( \sqrt{3}+2\right)}\over{6}}-{{\arctan \left(\sqrt{3}-2\right)}\over{ 6}}-{{\log \left(2-\sqrt{3}\right)}\over{4\,\sqrt{3}}}+{{\pi}\over{ 12}}$$

Численный ответ

0.903771773748772

Ответ (Неопределённый)

  /                                                                                                                             
 |                               /  ___      \       /    ___      \     ___    /     2       ___\     ___    /     2       ___\
 |   1             atan(x)   atan\\/ 3  + 2*x/   atan\- \/ 3  + 2*x/   \/ 3 *log\1 + x  - x*\/ 3 /   \/ 3 *log\1 + x  + x*\/ 3 /
 | ------ dx = C + ------- + ----------------- + ------------------- - --------------------------- + ---------------------------
 |  6                 3              6                    6                         12                            12            
 | x  + 1                                                                                                                       
 |                                                                                                                              
/                                                                                                                               

$${{\log \left(x^2+\sqrt{3}\,x+1\right)}\over{4\,\sqrt{3}}}-{{\log \left(x^2-\sqrt{3}\,x+1\right)}\over{4\,\sqrt{3}}}+{{\arctan \left(2 \,x+\sqrt{3}\right)}\over{6}}+{{\arctan \left(2\,x-\sqrt{3}\right) }\over{6}}+{{\arctan x}\over{3}}$$