Решение интегралов/ Определённый интеграл

Интеграл 1/(x^6+1) (dx)

Преподаватель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

∫d
Примеры

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

    Решение

    Вы ввели [src]
      1          
  /          
 |           
 |    1      
 |  ------ dx
 |   6       
 |  x  + 1   
 |           
/            
0
    ∫011x6+1 dx\int_{0}^{1} \frac{1}{x^{6} + 1}\, dx
    Подробное решение

    1. Перепишите подынтегральное выражение:

      1x6+1=−x2−23x4−3x2+3+13x2+3\frac{1}{x^{6} + 1} = - \frac{x^{2} - 2}{3 x^{4} - 3 x^{2} + 3} + \frac{1}{3 x^{2} + 3}

    2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

        ∫−x2−23x4−3x2+3 dx=−13∫x2−2x4−x2+1 dx\int - \frac{x^{2} - 2}{3 x^{4} - 3 x^{2} + 3}\, dx = - \frac{1}{3} \int \frac{x^{2} - 2}{x^{4} - x^{2} + 1}\, dx

        1. Перепишите подынтегральное выражение:

          x2−2x4−x2+1=x2x4−x2+1−2x4−x2+1\frac{x^{2} - 2}{x^{4} - x^{2} + 1} = \frac{x^{2}}{x^{4} - x^{2} + 1} - \frac{2}{x^{4} - x^{2} + 1}

        2. Интегрируем почленно:

          1. Не могу найти шаги в поиске этот интеграла.

            Но интеграл

            312log⁡(x2−3x+1)−312log⁡(x2+3x+1)+12atan⁡(2x−3)+12atan⁡(2x+3)\frac{\sqrt{3}}{12} \log{\left (x^{2} - \sqrt{3} x + 1 \right )} - \frac{\sqrt{3}}{12} \log{\left (x^{2} + \sqrt{3} x + 1 \right )} + \frac{1}{2} \operatorname{atan}{\left (2 x - \sqrt{3} \right )} + \frac{1}{2} \operatorname{atan}{\left (2 x + \sqrt{3} \right )}

          1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            ∫−2x4−x2+1 dx=−2∫1x4−x2+1 dx\int - \frac{2}{x^{4} - x^{2} + 1}\, dx = - 2 \int \frac{1}{x^{4} - x^{2} + 1}\, dx

            1. Не могу найти шаги в поиске этот интеграла.

              Но интеграл

              −312log⁡(x2−3x+1)+312log⁡(x2+3x+1)+12atan⁡(2x−3)+12atan⁡(2x+3)- \frac{\sqrt{3}}{12} \log{\left (x^{2} - \sqrt{3} x + 1 \right )} + \frac{\sqrt{3}}{12} \log{\left (x^{2} + \sqrt{3} x + 1 \right )} + \frac{1}{2} \operatorname{atan}{\left (2 x - \sqrt{3} \right )} + \frac{1}{2} \operatorname{atan}{\left (2 x + \sqrt{3} \right )}

            Таким образом, результат будет: 36log⁡(x2−3x+1)−36log⁡(x2+3x+1)−atan⁡(2x−3)−atan⁡(2x+3)\frac{\sqrt{3}}{6} \log{\left (x^{2} - \sqrt{3} x + 1 \right )} - \frac{\sqrt{3}}{6} \log{\left (x^{2} + \sqrt{3} x + 1 \right )} - \operatorname{atan}{\left (2 x - \sqrt{3} \right )} - \operatorname{atan}{\left (2 x + \sqrt{3} \right )}

          Результат есть: 34log⁡(x2−3x+1)−34log⁡(x2+3x+1)−12atan⁡(2x−3)−12atan⁡(2x+3)\frac{\sqrt{3}}{4} \log{\left (x^{2} - \sqrt{3} x + 1 \right )} - \frac{\sqrt{3}}{4} \log{\left (x^{2} + \sqrt{3} x + 1 \right )} - \frac{1}{2} \operatorname{atan}{\left (2 x - \sqrt{3} \right )} - \frac{1}{2} \operatorname{atan}{\left (2 x + \sqrt{3} \right )}

        Таким образом, результат будет: −312log⁡(x2−3x+1)+312log⁡(x2+3x+1)+16atan⁡(2x−3)+16atan⁡(2x+3)- \frac{\sqrt{3}}{12} \log{\left (x^{2} - \sqrt{3} x + 1 \right )} + \frac{\sqrt{3}}{12} \log{\left (x^{2} + \sqrt{3} x + 1 \right )} + \frac{1}{6} \operatorname{atan}{\left (2 x - \sqrt{3} \right )} + \frac{1}{6} \operatorname{atan}{\left (2 x + \sqrt{3} \right )}

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

        ∫13x2+3 dx=13∫1x2+1 dx\int \frac{1}{3 x^{2} + 3}\, dx = \frac{1}{3} \int \frac{1}{x^{2} + 1}\, dx

        1. Интеграл 1x2+1\frac{1}{x^{2} + 1} есть atan⁡(x)\operatorname{atan}{\left (x \right )}.

        Таким образом, результат будет: 13atan⁡(x)\frac{1}{3} \operatorname{atan}{\left (x \right )}

      Результат есть: −312log⁡(x2−3x+1)+312log⁡(x2+3x+1)+13atan⁡(x)+16atan⁡(2x−3)+16atan⁡(2x+3)- \frac{\sqrt{3}}{12} \log{\left (x^{2} - \sqrt{3} x + 1 \right )} + \frac{\sqrt{3}}{12} \log{\left (x^{2} + \sqrt{3} x + 1 \right )} + \frac{1}{3} \operatorname{atan}{\left (x \right )} + \frac{1}{6} \operatorname{atan}{\left (2 x - \sqrt{3} \right )} + \frac{1}{6} \operatorname{atan}{\left (2 x + \sqrt{3} \right )}

    3. Добавляем постоянную интегрирования:

      −312log⁡(x2−3x+1)+312log⁡(x2+3x+1)+13atan⁡(x)+16atan⁡(2x−3)+16atan⁡(2x+3)+constant- \frac{\sqrt{3}}{12} \log{\left (x^{2} - \sqrt{3} x + 1 \right )} + \frac{\sqrt{3}}{12} \log{\left (x^{2} + \sqrt{3} x + 1 \right )} + \frac{1}{3} \operatorname{atan}{\left (x \right )} + \frac{1}{6} \operatorname{atan}{\left (2 x - \sqrt{3} \right )} + \frac{1}{6} \operatorname{atan}{\left (2 x + \sqrt{3} \right )}+ \mathrm{constant}

    Ответ:

    −312log⁡(x2−3x+1)+312log⁡(x2+3x+1)+13atan⁡(x)+16atan⁡(2x−3)+16atan⁡(2x+3)+constant- \frac{\sqrt{3}}{12} \log{\left (x^{2} - \sqrt{3} x + 1 \right )} + \frac{\sqrt{3}}{12} \log{\left (x^{2} + \sqrt{3} x + 1 \right )} + \frac{1}{3} \operatorname{atan}{\left (x \right )} + \frac{1}{6} \operatorname{atan}{\left (2 x - \sqrt{3} \right )} + \frac{1}{6} \operatorname{atan}{\left (2 x + \sqrt{3} \right )}+ \mathrm{constant}

    График
    02468-8-6-4-2-10102.5-2.5
    Ответ [src]
      1                                                                                 
  /                                                                                 
 |                  /      ___\            ___    /      ___\     ___    /      ___\
 |    1         atan\2 + \/ 3 /   7*pi   \/ 3 *log\2 - \/ 3 /   \/ 3 *log\2 + \/ 3 /
 |  ------ dx = --------------- + ---- - -------------------- + --------------------
 |   6                 6           72             12                     12         
 |  x  + 1                                                                          
 |                                                                                  
/                                                                                   
0
    log⁡(3+2)4 3+arctan⁡(3+2)6−arctan⁡(3−2)6−log⁡(2−3)4 3+π12{{\log \left(\sqrt{3}+2\right)}\over{4\,\sqrt{3}}}+{{\arctan \left( \sqrt{3}+2\right)}\over{6}}-{{\arctan \left(\sqrt{3}-2\right)}\over{ 6}}-{{\log \left(2-\sqrt{3}\right)}\over{4\,\sqrt{3}}}+{{\pi}\over{ 12}}
    Численный ответ [src]
    0.903771773748772
    Ответ (Неопределённый) [src]
      /                                                                                                                             
 |                               /  ___      \       /    ___      \     ___    /     2       ___\     ___    /     2       ___\
 |   1             atan(x)   atan\\/ 3  + 2*x/   atan\- \/ 3  + 2*x/   \/ 3 *log\1 + x  - x*\/ 3 /   \/ 3 *log\1 + x  + x*\/ 3 /
 | ------ dx = C + ------- + ----------------- + ------------------- - --------------------------- + ---------------------------
 |  6                 3              6                    6                         12                            12            
 | x  + 1                                                                                                                       
 |                                                                                                                              
/
    log⁡(x2+3 x+1)4 3−log⁡(x2−3 x+1)4 3+arctan⁡(2 x+3)6+arctan⁡(2 x−3)6+arctan⁡x3{{\log \left(x^2+\sqrt{3}\,x+1\right)}\over{4\,\sqrt{3}}}-{{\log \left(x^2-\sqrt{3}\,x+1\right)}\over{4\,\sqrt{3}}}+{{\arctan \left(2 \,x+\sqrt{3}\right)}\over{6}}+{{\arctan \left(2\,x-\sqrt{3}\right) }\over{6}}+{{\arctan x}\over{3}}
    Упростить