Интеграл 1/(x^3-8) (dx)

Вы ввели

  1          
  /          
 |           
 |    1      
 |  ------ dx
 |   3       
 |  x  - 8   
 |           
/            
0            

$$\int_{0}^{1} \frac{1}{x^{3} - 8}\, dx$$

Подробное решение

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\frac{1}{x^{3} - 8} = - \frac{x + 4}{12 x^{2} + 24 x + 48} + \frac{1}{12 x - 24}$

2. Интегрируем почленно:

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - \frac{x + 4}{12 x^{2} + 24 x + 48}\, dx = - \frac{1}{12} \int \frac{x + 4}{x^{2} + 2 x + 4}\, dx$

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\frac{x + 4}{x^{2} + 2 x + 4} = \frac{x}{x^{2} + 2 x + 4} + \frac{4}{x^{2} + 2 x + 4}$

      2. Интегрируем почленно:

         1. Не могу найти шаги в поиске этот интеграла.

            Но интеграл

            $\frac{1}{2} \log{\left (x^{2} + 2 x + 4 \right )} - \frac{\sqrt{3}}{3} \operatorname{atan}{\left (\frac{\sqrt{3} x}{3} + \frac{\sqrt{3}}{3} \right )}$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{4}{x^{2} + 2 x + 4}\, dx = 4 \int \frac{1}{x^{2} + 2 x + 4}\, dx$

            1. Не могу найти шаги в поиске этот интеграла.

               Но интеграл

               $\frac{\sqrt{3}}{3} \operatorname{atan}{\left (\frac{\sqrt{3} x}{3} + \frac{\sqrt{3}}{3} \right )}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{4 \sqrt{3}}{3} \operatorname{atan}{\left (\frac{\sqrt{3} x}{3} + \frac{\sqrt{3}}{3} \right )}$

         Результат есть: $\frac{1}{2} \log{\left (x^{2} + 2 x + 4 \right )} + \sqrt{3} \operatorname{atan}{\left (\frac{\sqrt{3} x}{3} + \frac{\sqrt{3}}{3} \right )}$

      Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{24} \log{\left (x^{2} + 2 x + 4 \right )} - \frac{\sqrt{3}}{12} \operatorname{atan}{\left (\frac{\sqrt{3} x}{3} + \frac{\sqrt{3}}{3} \right )}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \frac{1}{12 x - 24}\, dx = \frac{1}{12} \int \frac{1}{x - 2}\, dx$

      1. пусть $u = x - 2$.

         Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

         $\int \frac{1}{u}\, du$

         1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\log{\left (x - 2 \right )}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{1}{12} \log{\left (x - 2 \right )}$

   Результат есть: $\frac{1}{12} \log{\left (x - 2 \right )} - \frac{1}{24} \log{\left (x^{2} + 2 x + 4 \right )} - \frac{\sqrt{3}}{12} \operatorname{atan}{\left (\frac{\sqrt{3} x}{3} + \frac{\sqrt{3}}{3} \right )}$

3. Теперь упростить:

   $\frac{1}{12} \log{\left (x - 2 \right )} - \frac{1}{24} \log{\left (x^{2} + 2 x + 4 \right )} - \frac{\sqrt{3}}{12} \operatorname{atan}{\left (\frac{\sqrt{3}}{3} \left(x + 1\right) \right )}$

4. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{1}{12} \log{\left (x - 2 \right )} - \frac{1}{24} \log{\left (x^{2} + 2 x + 4 \right )} - \frac{\sqrt{3}}{12} \operatorname{atan}{\left (\frac{\sqrt{3}}{3} \left(x + 1\right) \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{1}{12} \log{\left (x - 2 \right )} - \frac{1}{24} \log{\left (x^{2} + 2 x + 4 \right )} - \frac{\sqrt{3}}{12} \operatorname{atan}{\left (\frac{\sqrt{3}}{3} \left(x + 1\right) \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                                    /    ___\           
  /                                            ___     |2*\/ 3 |           
 |                                           \/ 3 *atan|-------|        ___
 |    1           log(2)   log(7)   log(4)             \   3   /   pi*\/ 3 
 |  ------ dx = - ------ - ------ + ------ - ------------------- + --------
 |   3              12       24       24              12              72   
 |  x  - 8                                                                 
 |                                                                         
/                                                                          
0                                                                          

$$-{{2\,\sqrt{3}\,\arctan \left({{2}\over{\sqrt{3}}}\right)+\log 7 }\over{24}}+{{\log 4}\over{24}}-{{\log 2}\over{12}}+{{\pi}\over{8\,3 ^{{{3}\over{2}}}}}$$

Численный ответ

-0.12921229598575

Ответ (Неопределённый)

                                                               /  ___       ___\
  /                                                    ___     |\/ 3    x*\/ 3 |
 |                    /     2      \                 \/ 3 *atan|----- + -------|
 |   1             log\4 + x  + 2*x/   log(-2 + x)             \  3        3   /
 | ------ dx = C - ----------------- + ----------- - ---------------------------
 |  3                      24               12                    12            
 | x  - 8                                                                       
 |                                                                              
/                                                                               

$$-{{\log \left(x^2+2\,x+4\right)}\over{24}}-{{\arctan \left({{2\,x+2 }\over{2\,\sqrt{3}}}\right)}\over{4\,\sqrt{3}}}+{{\log \left(x-2 \right)}\over{12}}$$