Интеграл 1/(x^3-x) (dx)

Вы ввели

  1          
  /          
 |           
 |    1      
 |  ------ dx
 |   3       
 |  x  - x   
 |           
/            
0            

$$\int_{0}^{1} \frac{1}{x^{3} - x}\, dx$$

Подробное решение

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\frac{1}{x^{3} - x} = \frac{1}{2 x + 2} + \frac{1}{2 x - 2} - \frac{1}{x}$

2. Интегрируем почленно:

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \frac{1}{2 x + 2}\, dx = \frac{1}{2} \int \frac{1}{x + 1}\, dx$

      1. пусть $u = x + 1$.

         Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

         $\int \frac{1}{u}\, du$

         1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\log{\left (x + 1 \right )}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{1}{2} \log{\left (x + 1 \right )}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \frac{1}{2 x - 2}\, dx = \frac{1}{2} \int \frac{1}{x - 1}\, dx$

      1. пусть $u = x - 1$.

         Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

         $\int \frac{1}{u}\, du$

         1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\log{\left (x - 1 \right )}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{1}{2} \log{\left (x - 1 \right )}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - \frac{1}{x}\, dx = - \int \frac{1}{x}\, dx$

      1. Интеграл $\frac{1}{x}$ есть $\log{\left (x \right )}$.

      Таким образом, результат будет: $- \log{\left (x \right )}$

   Результат есть: $- \log{\left (x \right )} + \frac{1}{2} \log{\left (x - 1 \right )} + \frac{1}{2} \log{\left (x + 1 \right )}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- \log{\left (x \right )} + \frac{1}{2} \log{\left (x - 1 \right )} + \frac{1}{2} \log{\left (x + 1 \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$- \log{\left (x \right )} + \frac{1}{2} \log{\left (x - 1 \right )} + \frac{1}{2} \log{\left (x + 1 \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                
  /                
 |                 
 |    1            
 |  ------ dx = -oo
 |   3             
 |  x  - x         
 |                 
/                  
0                  

$${\it \%a}$$

Численный ответ

-65.7893509368196

Ответ (Неопределённый)

  /                                                 
 |                                                  
 |   1             log(1 + x)   log(-1 + x)         
 | ------ dx = C + ---------- + ----------- - log(x)
 |  3                  2             2              
 | x  - x                                           
 |                                                  
/                                                   

$${{\log \left(x+1\right)}\over{2}}-\log x+{{\log \left(x-1\right) }\over{2}}$$