Интеграл 1/(x^3+1) (dx)

Вы ввели

  1            
  /            
 |             
 |      1      
 |  1*------ dx
 |     3       
 |    x  + 1   
 |             
/              
0              

$$\int\limits_{0}^{1} 1 \cdot \frac{1}{x^{3} + 1}\, dx$$

Подробное решение

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\frac{1}{x^{3} + 1} = - \frac{x - 2}{3 x^{2} - 3 x + 3} + \frac{1}{3 x + 3}$

2. Интегрируем почленно:

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - \frac{x - 2}{3 x^{2} - 3 x + 3}\, dx = - \frac{1}{3} \int \frac{x - 2}{x^{2} - x + 1}\, dx$

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\frac{x - 2}{x^{2} - x + 1} = \frac{x}{x^{2} - x + 1} - \frac{2}{x^{2} - x + 1}$

      2. Интегрируем почленно:

         1. Не могу найти шаги в поиске этот интеграла.

            Но интеграл

            $\frac{1}{2} \log{\left (x^{2} - x + 1 \right )} + \frac{\sqrt{3}}{3} \operatorname{atan}{\left (\frac{2 x}{3} \sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} \right )}$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int - \frac{2}{x^{2} - x + 1}\, dx = - 2 \int \frac{1}{x^{2} - x + 1}\, dx$

            1. Не могу найти шаги в поиске этот интеграла.

               Но интеграл

               $\frac{2 \sqrt{3}}{3} \operatorname{atan}{\left (\frac{2 x}{3} \sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} \right )}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{4 \sqrt{3}}{3} \operatorname{atan}{\left (\frac{2 x}{3} \sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} \right )}$

         Результат есть: $\frac{1}{2} \log{\left (x^{2} - x + 1 \right )} - \sqrt{3} \operatorname{atan}{\left (\frac{2 x}{3} \sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} \right )}$

      Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{6} \log{\left (x^{2} - x + 1 \right )} + \frac{\sqrt{3}}{3} \operatorname{atan}{\left (\frac{2 x}{3} \sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} \right )}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \frac{1}{3 x + 3}\, dx = \frac{1}{3} \int \frac{1}{x + 1}\, dx$

      1. пусть $u = x + 1$.

         Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

         $\int \frac{1}{u}\, du$

         1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\log{\left (x + 1 \right )}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{1}{3} \log{\left (x + 1 \right )}$

   Результат есть: $\frac{1}{3} \log{\left (x + 1 \right )} - \frac{1}{6} \log{\left (x^{2} - x + 1 \right )} + \frac{\sqrt{3}}{3} \operatorname{atan}{\left (\frac{2 x}{3} \sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} \right )}$

3. Теперь упростить:

   $\frac{1}{3} \log{\left (x + 1 \right )} - \frac{1}{6} \log{\left (x^{2} - x + 1 \right )} + \frac{\sqrt{3}}{3} \operatorname{atan}{\left (\frac{\sqrt{3}}{3} \left(2 x - 1\right) \right )}$

4. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{1}{3} \log{\left (x + 1 \right )} - \frac{1}{6} \log{\left (x^{2} - x + 1 \right )} + \frac{\sqrt{3}}{3} \operatorname{atan}{\left (\frac{\sqrt{3}}{3} \left(2 x - 1\right) \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{1}{3} \log{\left (x + 1 \right )} - \frac{1}{6} \log{\left (x^{2} - x + 1 \right )} + \frac{\sqrt{3}}{3} \operatorname{atan}{\left (\frac{\sqrt{3}}{3} \left(2 x - 1\right) \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

              ___
log(2)   pi*\/ 3 
------ + --------
  3         9    

$$\frac{\log{\left(2 \right)}}{3} + \frac{\sqrt{3} \pi}{9}$$

=

=

              ___
log(2)   pi*\/ 3 
------ + --------
  3         9    

$$\frac{\log{\left(2 \right)}}{3} + \frac{\sqrt{3} \pi}{9}$$

Численный ответ

0.835648848264721

Ответ (Неопределённый)

                                                              /    ___           \
  /                                                   ___     |2*\/ 3 *(-1/2 + x)|
 |                      /     2    \                \/ 3 *atan|------------------|
 |     1             log\1 + x  - x/   log(1 + x)             \        3         /
 | 1*------ dx = C - --------------- + ---------- + ------------------------------
 |    3                     6              3                      3               
 |   x  + 1                                                                       
 |                                                                                
/                                                                                 

$$\int 1 \cdot \frac{1}{x^{3} + 1}\, dx = C + \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{3} - \frac{\log{\left(x^{2} - x + 1 \right)}}{6} + \frac{\sqrt{3} \operatorname{atan}{\left(\frac{2 \sqrt{3} \left(x - \frac{1}{2}\right)}{3} \right)}}{3}$$

График