Интеграл 1/(x^3+8) (dx)

Вы ввели

  1            
  /            
 |             
 |      1      
 |  1*------ dx
 |     3       
 |    x  + 8   
 |             
/              
0              

$$\int\limits_{0}^{1} 1 \cdot \frac{1}{x^{3} + 8}\, dx$$

Подробное решение

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\frac{1}{x^{3} + 8} = - \frac{x - 4}{12 x^{2} - 24 x + 48} + \frac{1}{12 x + 24}$

2. Интегрируем почленно:

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - \frac{x - 4}{12 x^{2} - 24 x + 48}\, dx = - \frac{1}{12} \int \frac{x - 4}{x^{2} - 2 x + 4}\, dx$

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\frac{x - 4}{x^{2} - 2 x + 4} = \frac{x}{x^{2} - 2 x + 4} - \frac{4}{x^{2} - 2 x + 4}$

      2. Интегрируем почленно:

         1. Не могу найти шаги в поиске этот интеграла.

            Но интеграл

            $\frac{1}{2} \log{\left (x^{2} - 2 x + 4 \right )} + \frac{\sqrt{3}}{3} \operatorname{atan}{\left (\frac{\sqrt{3} x}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} \right )}$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int - \frac{4}{x^{2} - 2 x + 4}\, dx = - 4 \int \frac{1}{x^{2} - 2 x + 4}\, dx$

            1. Не могу найти шаги в поиске этот интеграла.

               Но интеграл

               $\frac{\sqrt{3}}{3} \operatorname{atan}{\left (\frac{\sqrt{3} x}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} \right )}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{4 \sqrt{3}}{3} \operatorname{atan}{\left (\frac{\sqrt{3} x}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} \right )}$

         Результат есть: $\frac{1}{2} \log{\left (x^{2} - 2 x + 4 \right )} - \sqrt{3} \operatorname{atan}{\left (\frac{\sqrt{3} x}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} \right )}$

      Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{24} \log{\left (x^{2} - 2 x + 4 \right )} + \frac{\sqrt{3}}{12} \operatorname{atan}{\left (\frac{\sqrt{3} x}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} \right )}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \frac{1}{12 x + 24}\, dx = \frac{1}{12} \int \frac{1}{x + 2}\, dx$

      1. пусть $u = x + 2$.

         Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

         $\int \frac{1}{u}\, du$

         1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\log{\left (x + 2 \right )}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{1}{12} \log{\left (x + 2 \right )}$

   Результат есть: $\frac{1}{12} \log{\left (x + 2 \right )} - \frac{1}{24} \log{\left (x^{2} - 2 x + 4 \right )} + \frac{\sqrt{3}}{12} \operatorname{atan}{\left (\frac{\sqrt{3} x}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} \right )}$

3. Теперь упростить:

   $\frac{1}{12} \log{\left (x + 2 \right )} - \frac{1}{24} \log{\left (x^{2} - 2 x + 4 \right )} + \frac{\sqrt{3}}{12} \operatorname{atan}{\left (\frac{\sqrt{3}}{3} \left(x - 1\right) \right )}$

4. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{1}{12} \log{\left (x + 2 \right )} - \frac{1}{24} \log{\left (x^{2} - 2 x + 4 \right )} + \frac{\sqrt{3}}{12} \operatorname{atan}{\left (\frac{\sqrt{3}}{3} \left(x - 1\right) \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{1}{12} \log{\left (x + 2 \right )} - \frac{1}{24} \log{\left (x^{2} - 2 x + 4 \right )} + \frac{\sqrt{3}}{12} \operatorname{atan}{\left (\frac{\sqrt{3}}{3} \left(x - 1\right) \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

                                  ___
  log(2)   log(3)   log(4)   pi*\/ 3 
- ------ + ------ + ------ + --------
    12       24       24        72   

$$- \frac{\log{\left(2 \right)}}{12} + \frac{\log{\left(3 \right)}}{24} + \frac{\log{\left(4 \right)}}{24} + \frac{\sqrt{3} \pi}{72}$$

=

=

                                  ___
  log(2)   log(3)   log(4)   pi*\/ 3 
- ------ + ------ + ------ + --------
    12       24       24        72   

$$- \frac{\log{\left(2 \right)}}{12} + \frac{\log{\left(3 \right)}}{24} + \frac{\log{\left(4 \right)}}{24} + \frac{\sqrt{3} \pi}{72}$$

Численный ответ

0.121350485537597

Ответ (Неопределённый)

                                                                /  ___         \
  /                                                     ___     |\/ 3 *(-1 + x)|
 |                      /     2      \                \/ 3 *atan|--------------|
 |     1             log\4 + x  - 2*x/   log(2 + x)             \      3       /
 | 1*------ dx = C - ----------------- + ---------- + --------------------------
 |    3                      24              12                   12            
 |   x  + 8                                                                     
 |                                                                              
/                                                                               

$$\int 1 \cdot \frac{1}{x^{3} + 8}\, dx = C + \frac{\log{\left(x + 2 \right)}}{12} - \frac{\log{\left(x^{2} - 2 x + 4 \right)}}{24} + \frac{\sqrt{3} \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} \left(x - 1\right)}{3} \right)}}{12}$$

График