Интеграл 1/(x^3+x) (dx)

Вы ввели

  1          
  /          
 |           
 |    1      
 |  ------ dx
 |   3       
 |  x  + x   
 |           
/            
0            

$$\int_{0}^{1} \frac{1}{x^{3} + x}\, dx$$

Подробное решение

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\frac{1}{x^{3} + x} = - \frac{x}{x^{2} + 1} + \frac{1}{x}$

2. Интегрируем почленно:

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - \frac{x}{x^{2} + 1}\, dx = - \int \frac{x}{x^{2} + 1}\, dx$

      1. пусть $u = x^{2} + 1$.

         Тогда пусть $du = 2 x dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

         $\int \frac{1}{u}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

            Таким образом, результат будет: $\frac{1}{2} \log{\left (u \right )}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\frac{1}{2} \log{\left (x^{2} + 1 \right )}$

      Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{2} \log{\left (x^{2} + 1 \right )}$

   1. Интеграл $\frac{1}{x}$ есть $\log{\left (x \right )}$.

   Результат есть: $\log{\left (x \right )} - \frac{1}{2} \log{\left (x^{2} + 1 \right )}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\log{\left (x \right )} - \frac{1}{2} \log{\left (x^{2} + 1 \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\log{\left (x \right )} - \frac{1}{2} \log{\left (x^{2} + 1 \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1               
  /               
 |                
 |    1           
 |  ------ dx = oo
 |   3            
 |  x  + x        
 |                
/                 
0                 

$$\int_{0}^{1} \frac{1}{x^{3} + x}\, dx = \infty$$

Численный ответ

43.7438725437129

Ответ (Неопределённый)

  /                                    
 |                    /     2\         
 |   1             log\1 + x /         
 | ------ dx = C - ----------- + log(x)
 |  3                   2              
 | x  + x                              
 |                                     
/                                      

$$\log x-{{\log \left(x^2+1\right)}\over{2}}$$