Интеграл (1-2*x)^10 (dx)

Вы ввели

  1               
  /               
 |                
 |           10   
 |  (1 - 2*x)   dx
 |                
/                 
0                 

$$\int_{0}^{1} \left(- 2 x + 1\right)^{10}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = - 2 x + 1$.

      Тогда пусть $du = - 2 dx$ и подставим $- \frac{du}{2}$:

      $\int u^{10}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int u^{10}\, du = - \frac{1}{2} \int u^{10}\, du$

         1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int u^{10}\, du = \frac{u^{11}}{11}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{11}}{22}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- \frac{1}{22} \left(- 2 x + 1\right)^{11}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(- 2 x + 1\right)^{10} = 1024 x^{10} - 5120 x^{9} + 11520 x^{8} - 15360 x^{7} + 13440 x^{6} - 8064 x^{5} + 3360 x^{4} - 960 x^{3} + 180 x^{2} - 20 x + 1$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 1024 x^{10}\, dx = 1024 \int x^{10}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{10}\, dx = \frac{x^{11}}{11}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{1024 x^{11}}{11}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - 5120 x^{9}\, dx = - 5120 \int x^{9}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{9}\, dx = \frac{x^{10}}{10}$

         Таким образом, результат будет: $- 512 x^{10}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 11520 x^{8}\, dx = 11520 \int x^{8}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{8}\, dx = \frac{x^{9}}{9}$

         Таким образом, результат будет: $1280 x^{9}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - 15360 x^{7}\, dx = - 15360 \int x^{7}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{7}\, dx = \frac{x^{8}}{8}$

         Таким образом, результат будет: $- 1920 x^{8}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 13440 x^{6}\, dx = 13440 \int x^{6}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{6}\, dx = \frac{x^{7}}{7}$

         Таким образом, результат будет: $1920 x^{7}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - 8064 x^{5}\, dx = - 8064 \int x^{5}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

         Таким образом, результат будет: $- 1344 x^{6}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 3360 x^{4}\, dx = 3360 \int x^{4}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

         Таким образом, результат будет: $672 x^{5}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - 960 x^{3}\, dx = - 960 \int x^{3}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Таким образом, результат будет: $- 240 x^{4}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 180 x^{2}\, dx = 180 \int x^{2}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Таким образом, результат будет: $60 x^{3}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - 20 x\, dx = - 20 \int x\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Таким образом, результат будет: $- 10 x^{2}$

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int 1\, dx = x$

      Результат есть: $\frac{1024 x^{11}}{11} - 512 x^{10} + 1280 x^{9} - 1920 x^{8} + 1920 x^{7} - 1344 x^{6} + 672 x^{5} - 240 x^{4} + 60 x^{3} - 10 x^{2} + x$

2. Теперь упростить:

   $\frac{1}{22} \left(2 x - 1\right)^{11}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{1}{22} \left(2 x - 1\right)^{11}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{1}{22} \left(2 x - 1\right)^{11}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                      
  /                      
 |                       
 |           10          
 |  (1 - 2*x)   dx = 1/11
 |                       
/                        
0                        

$${{1}\over{11}}$$

Численный ответ

0.0909090909090909

Ответ (Неопределённый)

  /                                
 |                               11
 |          10          (1 - 2*x)  
 | (1 - 2*x)   dx = C - -----------
 |                           22    
/                                  

$$\int \left(- 2 x + 1\right)^{10}\, dx = C - \frac{1}{22} \left(- 2 x + 1\right)^{11}$$