Решение интегралов/ Определённый интеграл

Интеграл (1-2*x)^6 (dx)

Преподаватель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

∫d
Примеры

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

    Решение

    Вы ввели [src]
      1              
  /              
 |               
 |           6   
 |  (1 - 2*x)  dx
 |               
/                
0
    ∫01(−2x+1)6 dx\int_{0}^{1} \left(- 2 x + 1\right)^{6}\, dx
    Подробное решение

    1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

      Метод #1

      1. пусть u=−2x+1u = - 2 x + 1.

        Тогда пусть du=−2dxdu = - 2 dx и подставим −du2- \frac{du}{2}:

        ∫u6 du\int u^{6}\, du

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          ∫u6 du=−12∫u6 du\int u^{6}\, du = - \frac{1}{2} \int u^{6}\, du

          1. Интеграл unu^{n} есть un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1}:

            ∫u6 du=u77\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}

          Таким образом, результат будет: −u714- \frac{u^{7}}{14}

        Если сейчас заменить uu ещё в:

        −114(−2x+1)7- \frac{1}{14} \left(- 2 x + 1\right)^{7}

      Метод #2

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

        (−2x+1)6=64x6−192x5+240x4−160x3+60x2−12x+1\left(- 2 x + 1\right)^{6} = 64 x^{6} - 192 x^{5} + 240 x^{4} - 160 x^{3} + 60 x^{2} - 12 x + 1

      2. Интегрируем почленно:

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          ∫64x6 dx=64∫x6 dx\int 64 x^{6}\, dx = 64 \int x^{6}\, dx

          1. Интеграл xnx^{n} есть xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1}:

            ∫x6 dx=x77\int x^{6}\, dx = \frac{x^{7}}{7}

          Таким образом, результат будет: 64x77\frac{64 x^{7}}{7}

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          ∫−192x5 dx=−192∫x5 dx\int - 192 x^{5}\, dx = - 192 \int x^{5}\, dx

          1. Интеграл xnx^{n} есть xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1}:

            ∫x5 dx=x66\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}

          Таким образом, результат будет: −32x6- 32 x^{6}

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          ∫240x4 dx=240∫x4 dx\int 240 x^{4}\, dx = 240 \int x^{4}\, dx

          1. Интеграл xnx^{n} есть xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1}:

            ∫x4 dx=x55\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}

          Таким образом, результат будет: 48x548 x^{5}

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          ∫−160x3 dx=−160∫x3 dx\int - 160 x^{3}\, dx = - 160 \int x^{3}\, dx

          1. Интеграл xnx^{n} есть xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1}:

            ∫x3 dx=x44\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}

          Таким образом, результат будет: −40x4- 40 x^{4}

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          ∫60x2 dx=60∫x2 dx\int 60 x^{2}\, dx = 60 \int x^{2}\, dx

          1. Интеграл xnx^{n} есть xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1}:

            ∫x2 dx=x33\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}

          Таким образом, результат будет: 20x320 x^{3}

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          ∫−12x dx=−12∫x dx\int - 12 x\, dx = - 12 \int x\, dx

          1. Интеграл xnx^{n} есть xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1}:

            ∫x dx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

          Таким образом, результат будет: −6x2- 6 x^{2}

        1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

          ∫1 dx=x\int 1\, dx = x

        Результат есть: 64x77−32x6+48x5−40x4+20x3−6x2+x\frac{64 x^{7}}{7} - 32 x^{6} + 48 x^{5} - 40 x^{4} + 20 x^{3} - 6 x^{2} + x

    2. Теперь упростить:

      114(2x−1)7\frac{1}{14} \left(2 x - 1\right)^{7}

    3. Добавляем постоянную интегрирования:

      114(2x−1)7+constant\frac{1}{14} \left(2 x - 1\right)^{7}+ \mathrm{constant}

    Ответ:

    114(2x−1)7+constant\frac{1}{14} \left(2 x - 1\right)^{7}+ \mathrm{constant}

    График
    02468-8-6-4-2-1010-250000000250000000
    Ответ [src]
      1                    
  /                    
 |                     
 |           6         
 |  (1 - 2*x)  dx = 1/7
 |                     
/                      
0
    17{{1}\over{7}}
    Численный ответ [src]
    0.142857142857143
    Ответ (Неопределённый) [src]
      /                              
 |                              7
 |          6          (1 - 2*x) 
 | (1 - 2*x)  dx = C - ----------
 |                         14    
/
    −(1−2 x)714-{{\left(1-2\,x\right)^7}\over{14}}
    Упростить