Интеграл 1-e^(-x) (dx)

Вы ввели

  1             
  /             
 |              
 |  /     -x\   
 |  \1 - E  / dx
 |              
/               
0               

$$\int_{0}^{1} 1 - e^{- x}\, dx$$

Подробное решение

1. Интегрируем почленно:

   1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

      $\int 1\, dx = x$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - e^{- x}\, dx = - \int e^{- x}\, dx$

      1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

         Метод #1

         1. пусть $u = - x$.

            Тогда пусть $du = - dx$ и подставим $- du$:

            $\int e^{u}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int e^{u}\, du = - \int e^{u}\, du$

               1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Таким образом, результат будет: $- e^{u}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $- e^{- x}$

         Метод #2

         1. Перепишите подынтегральное выражение:

            $e^{- x} = e^{- x}$

         2. пусть $u = - x$.

            Тогда пусть $du = - dx$ и подставим $- du$:

            $\int e^{u}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int e^{u}\, du = - \int e^{u}\, du$

               1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Таким образом, результат будет: $- e^{u}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $- e^{- x}$

      Таким образом, результат будет: $e^{- x}$

   Результат есть: $x + e^{- x}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $x + e^{- x}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$x + e^{- x}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                   
  /                   
 |                    
 |  /     -x\       -1
 |  \1 - E  / dx = e  
 |                    
/                     
0                     

$${{E\,\log E-E+1}\over{E\,\log E}}$$

Численный ответ

0.367879441171442

Ответ (Неопределённый)

  /                          
 |                           
 | /     -x\               -x
 | \1 - E  / dx = C + x + e  
 |                           
/                            

$$x+{{1}\over{E^{x}\,\log E}}$$