Интеграл (1-cos(x))^2 (dx)

Вы ввели

  1                 
  /                 
 |                  
 |              2   
 |  (1 - cos(x))  dx
 |                  
/                   
0                   

$$\int_{0}^{1} \left(- \cos{\left (x \right )} + 1\right)^{2}\, dx$$

Подробное решение

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\left(- \cos{\left (x \right )} + 1\right)^{2} = \cos^{2}{\left (x \right )} - 2 \cos{\left (x \right )} + 1$

2. Интегрируем почленно:

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\cos^{2}{\left (x \right )} = \frac{1}{2} \cos{\left (2 x \right )} + \frac{1}{2}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{1}{2} \cos{\left (2 x \right )}\, dx = \frac{1}{2} \int \cos{\left (2 x \right )}\, dx$

         1. пусть $u = 2 x$.

            Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

            $\int \cos{\left (u \right )}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{2} \int \cos{\left (u \right )}\, du$

               1. Интеграл от косинуса есть синус:

                  $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}$

               Таким образом, результат будет: $\frac{1}{2} \sin{\left (u \right )}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\frac{1}{2} \sin{\left (2 x \right )}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{1}{4} \sin{\left (2 x \right )}$

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

      Результат есть: $\frac{x}{2} + \frac{1}{4} \sin{\left (2 x \right )}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - 2 \cos{\left (x \right )}\, dx = - 2 \int \cos{\left (x \right )}\, dx$

      1. Интеграл от косинуса есть синус:

         $\int \cos{\left (x \right )}\, dx = \sin{\left (x \right )}$

      Таким образом, результат будет: $- 2 \sin{\left (x \right )}$

   1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

      $\int 1\, dx = x$

   Результат есть: $\frac{3 x}{2} - 2 \sin{\left (x \right )} + \frac{1}{4} \sin{\left (2 x \right )}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{3 x}{2} - 2 \sin{\left (x \right )} + \frac{1}{4} \sin{\left (2 x \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{3 x}{2} - 2 \sin{\left (x \right )} + \frac{1}{4} \sin{\left (2 x \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                                                    
  /                                                                    
 |                            2         2                              
 |              2          cos (1)   sin (1)              cos(1)*sin(1)
 |  (1 - cos(x))  dx = 1 + ------- + ------- - 2*sin(1) + -------------
 |                            2         2                       2      
/                                                                      
0                                                                      

$${{\sin 2+2}\over{4}}-2\,\sin 1+1$$

Численный ответ

0.0443823870906274

Ответ (Неопределённый)

  /                                                
 |                                                 
 |             2                     sin(2*x)   3*x
 | (1 - cos(x))  dx = C - 2*sin(x) + -------- + ---
 |                                      4        2 
/                                                  

$${{{{\sin \left(2\,x\right)}\over{2}}+x}\over{2}}-2\,\sin x+x$$