Интеграл 1-log(cos(x)) (dx)

Вы ввели

  1                     
  /                     
 |                      
 |  (1 - log(cos(x))) dx
 |                      
/                       
0                       

$$\int_{0}^{1} - \log{\left (\cos{\left (x \right )} \right )} + 1\, dx$$

Подробное решение

1. Интегрируем почленно:

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - \log{\left (\cos{\left (x \right )} \right )}\, dx = - \int \log{\left (\cos{\left (x \right )} \right )}\, dx$

      1. Используем интегрирование по частям:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         пусть $u{\left (x \right )} = \log{\left (\cos{\left (x \right )} \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = 1$ dx.

         Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = - \frac{\sin{\left (x \right )}}{\cos{\left (x \right )}}$ dx.

         Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

         1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            $\int 1\, dx = x$

         Теперь решаем под-интеграл.

      2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - \frac{x \sin{\left (x \right )}}{\cos{\left (x \right )}}\, dx = - \int \frac{x \sin{\left (x \right )}}{\cos{\left (x \right )}}\, dx$

         1. Не могу найти шаги в поиске этот интеграла.

            Но интеграл

            $\int \frac{x \sin{\left (x \right )}}{\cos{\left (x \right )}}\, dx$

         Таким образом, результат будет: $- \int \frac{x \sin{\left (x \right )}}{\cos{\left (x \right )}}\, dx$

      Таким образом, результат будет: $- x \log{\left (\cos{\left (x \right )} \right )} - \int \frac{x \sin{\left (x \right )}}{\cos{\left (x \right )}}\, dx$

   1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

      $\int 1\, dx = x$

   Результат есть: $- x \log{\left (\cos{\left (x \right )} \right )} + x - \int \frac{x \sin{\left (x \right )}}{\cos{\left (x \right )}}\, dx$

2. Теперь упростить:

   $- x \log{\left (\cos{\left (x \right )} \right )} + x - \int x \tan{\left (x \right )}\, dx$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- x \log{\left (\cos{\left (x \right )} \right )} + x - \int x \tan{\left (x \right )}\, dx+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$- x \log{\left (\cos{\left (x \right )} \right )} + x - \int x \tan{\left (x \right )}\, dx+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                          1                     
  /                          /                     
 |                          |                      
 |  (1 - log(cos(x))) dx =  |  (1 - log(cos(x))) dx
 |                          |                      
/                          /                       
0                          0                       

$${{24\,i\,\arctan \left({{\sin 2}\over{\cos 2+1}}\right)+12\,\log \left(2\,\cos 2+2\right)-24\,\log \cos 1-12\,i\,{\it li}_{2}(-e^{2\, i})-i\,\pi^2-12\,i+24}\over{24}}$$

Численный ответ

1.18753816902084

Ответ (Неопределённый)

                                    /                           
  /                                |                            
 |                                 | x*sin(x)                   
 | (1 - log(cos(x))) dx = C + x -  | -------- dx - x*log(cos(x))
 |                                 |  cos(x)                    
/                                  |                            
                                  /                             

$$x-{{4\,\int {{{x\,\sin \left(2\,x\right)}\over{\sin ^2\left(2\,x \right)+\cos ^2\left(2\,x\right)+2\,\cos \left(2\,x\right)+1}}}{\;dx }+x\,\log \left(\sin ^2\left(2\,x\right)+\cos ^2\left(2\,x\right)+2 \,\cos \left(2\,x\right)+1\right)-2\,\log 2\,x}\over{2}}$$