Интеграл (1-log(x))/x (dx)

Вы ввели

  1              
  /              
 |               
 |  1 - log(x)   
 |  ---------- dx
 |      x        
 |               
/                
0                

$$\int_{0}^{1} \frac{1}{x} \left(- \log{\left (x \right )} + 1\right)\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = - \log{\left (x \right )} + 1$.

      Тогда пусть $du = - \frac{dx}{x}$ и подставим $- du$:

      $\int u\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int u\, du = - \int u\, du$

         1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{2}}{2}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- \frac{1}{2} \left(- \log{\left (x \right )} + 1\right)^{2}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{1}{x} \left(- \log{\left (x \right )} + 1\right) = - \frac{1}{x} \log{\left (x \right )} + \frac{1}{x}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - \frac{1}{x} \log{\left (x \right )}\, dx = - \int \frac{1}{x} \log{\left (x \right )}\, dx$

         1. пусть $u = \log{\left (x \right )}$.

            Тогда пусть $du = \frac{dx}{x}$ и подставим $du$:

            $\int u\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

               $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\frac{1}{2} \log^{2}{\left (x \right )}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{2} \log^{2}{\left (x \right )}$

      1. Интеграл $\frac{1}{x}$ есть $\log{\left (x \right )}$.

      Результат есть: $- \frac{1}{2} \log^{2}{\left (x \right )} + \log{\left (x \right )}$

2. Теперь упростить:

   $- \frac{1}{2} \left(\log{\left (x \right )} - 1\right)^{2}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- \frac{1}{2} \left(\log{\left (x \right )} - 1\right)^{2}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$- \frac{1}{2} \left(\log{\left (x \right )} - 1\right)^{2}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                   
  /                   
 |                    
 |  1 - log(x)        
 |  ---------- dx = oo
 |      x             
 |                    
/                     
0                     

$${\it \%a}$$

Численный ответ

1016.05430954932

Ответ (Неопределённый)

  /                                 
 |                                 2
 | 1 - log(x)          (1 - log(x)) 
 | ---------- dx = C - -------------
 |     x                     2      
 |                                  
/                                   

$$-{{\left(1-\log x\right)^2}\over{2}}$$