Интеграл (1-x)/x^2 (dx)

Вы ввели

  1         
  /         
 |          
 |  1 - x   
 |  ----- dx
 |     2    
 |    x     
 |          
/           
0           

$$\int_{0}^{1} \frac{1}{x^{2}} \left(- x + 1\right)\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = - x$.

      Тогда пусть $du = - dx$ и подставим $- du$:

      $\int \frac{1}{u^{2}} \left(u + 1\right)\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{1}{u^{2}} \left(u + 1\right)\, du = - \int \frac{1}{u^{2}} \left(u + 1\right)\, du$

         1. Перепишите подынтегральное выражение:

            $\frac{1}{u^{2}} \left(u + 1\right) = \frac{1}{u} + \frac{1}{u^{2}}$

         2. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

               $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

            Результат есть: $\log{\left (u \right )} - \frac{1}{u}$

         Таким образом, результат будет: $- \log{\left (u \right )} + \frac{1}{u}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- \log{\left (- x \right )} - \frac{1}{x}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{1}{x^{2}} \left(- x + 1\right) = - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - \frac{1}{x}\, dx = - \int \frac{1}{x}\, dx$

         1. Интеграл $\frac{1}{x}$ есть $\log{\left (x \right )}$.

         Таким образом, результат будет: $- \log{\left (x \right )}$

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

         $\int \frac{1}{x^{2}}\, dx = - \frac{1}{x}$

      Результат есть: $- \log{\left (x \right )} - \frac{1}{x}$

   Метод #3

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{1}{x^{2}} \left(- x + 1\right) = - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - \frac{1}{x}\, dx = - \int \frac{x}{x^{2}}\, dx$

         1. пусть $u = \frac{1}{x^{2}}$.

            Тогда пусть $du = - \frac{2 dx}{x^{3}}$ и подставим $- \frac{du}{2}$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{1}{u}\, du = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u}\, du$

               1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

               Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{2} \log{\left (u \right )}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $- \frac{1}{2} \log{\left (\frac{1}{x^{2}} \right )}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{1}{2} \log{\left (\frac{1}{x^{2}} \right )}$

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

         $\int \frac{1}{x^{2}}\, dx = - \frac{1}{x}$

      Результат есть: $\frac{1}{2} \log{\left (\frac{1}{x^{2}} \right )} - \frac{1}{x}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- \log{\left (- x \right )} - \frac{1}{x}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$- \log{\left (- x \right )} - \frac{1}{x}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1              
  /              
 |               
 |  1 - x        
 |  ----- dx = oo
 |     2         
 |    x          
 |               
/                
0                

$${\it \%a}$$

Численный ответ

1.3793236779486e+19

Ответ (Неопределённый)

  /                          
 |                           
 | 1 - x          1          
 | ----- dx = C - - - log(-x)
 |    2           x          
 |   x                       
 |                           
/                            

$$-\log x-{{1}\over{x}}$$