Интеграл (1-x)*asin(x) (dx)

Вы ввели

  1                   
  /                   
 |                    
 |  (1 - x)*asin(x) dx
 |                    
/                     
0                     

$$\int_{0}^{1} \left(- x + 1\right) \operatorname{asin}{\left (x \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = - x$.

      Тогда пусть $du = - dx$ и подставим $du$:

      $\int u \operatorname{asin}{\left (u \right )} + \operatorname{asin}{\left (u \right )}\, du$

      1. Интегрируем почленно:

         1. Используем интегрирование по частям:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            пусть $u{\left (u \right )} = \operatorname{asin}{\left (u \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (u \right )} = u$ dx.

            Затем $\operatorname{du}{\left (u \right )} = \frac{1}{\sqrt{- u^{2} + 1}}$ dx.

            Чтобы найти $v{\left (u \right )}$:

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

               $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

            Теперь решаем под-интеграл.

         2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{u^{2}}{2 \sqrt{- u^{2} + 1}}\, du = \frac{1}{2} \int \frac{u^{2}}{\sqrt{- u^{2} + 1}}\, du$

            TrigSubstitutionRule(theta=_theta, func=sin(_theta), rewritten=sin(_theta)**2, substep=RewriteRule(rewritten=-cos(2*_theta)/2 + 1/2, substep=AddRule(substeps=[ConstantTimesRule(constant=-1/2, other=cos(2*_theta), substep=URule(u_var=_u, u_func=2*_theta, constant=1/2, substep=ConstantTimesRule(constant=1/2, other=cos(_u), substep=TrigRule(func='cos', arg=_u, context=cos(_u), symbol=_u), context=cos(_u), symbol=_u), context=cos(2*_theta), symbol=_theta), context=-cos(2*_theta)/2, symbol=_theta), ConstantRule(constant=1/2, context=1/2, symbol=_theta)], context=-cos(2*_theta)/2 + 1/2, symbol=_theta), context=sin(_theta)**2, symbol=_theta), restriction=And(u < 1, u > -1), context=u**2/sqrt(-u**2 + 1), symbol=u)

            Таким образом, результат будет: $\frac{1}{2} \begin{cases} - \frac{u}{2} \sqrt{- u^{2} + 1} + \frac{1}{2} \operatorname{asin}{\left (u \right )} & \text{for}\: u > -1 \wedge u < 1 \end{cases}$

         1. Используем интегрирование по частям:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            пусть $u{\left (u \right )} = \operatorname{asin}{\left (u \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (u \right )} = 1$ dx.

            Затем $\operatorname{du}{\left (u \right )} = \frac{1}{\sqrt{- u^{2} + 1}}$ dx.

            Чтобы найти $v{\left (u \right )}$:

            1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

               $\int 1\, du = u$

            Теперь решаем под-интеграл.

         2. пусть $u = - u^{2} + 1$.

            Тогда пусть $du = - 2 u du$ и подставим $- \frac{du}{2}$:

            $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du$

               1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

                  $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}$

               Таким образом, результат будет: $- \sqrt{u}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $- \sqrt{- u^{2} + 1}$

         Результат есть: $\frac{u^{2}}{2} \operatorname{asin}{\left (u \right )} + u \operatorname{asin}{\left (u \right )} + \sqrt{- u^{2} + 1} - \frac{1}{2} \begin{cases} - \frac{u}{2} \sqrt{- u^{2} + 1} + \frac{1}{2} \operatorname{asin}{\left (u \right )} & \text{for}\: u > -1 \wedge u < 1 \end{cases}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- \frac{x^{2}}{2} \operatorname{asin}{\left (x \right )} + x \operatorname{asin}{\left (x \right )} + \sqrt{- x^{2} + 1} - \frac{1}{2} \begin{cases} \frac{x}{2} \sqrt{- x^{2} + 1} - \frac{1}{2} \operatorname{asin}{\left (x \right )} & \text{for}\: - x > -1 \wedge - x < 1 \end{cases}$

   Метод #2

   1. Используем интегрирование по частям:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      пусть $u{\left (x \right )} = \operatorname{asin}{\left (x \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = - x + 1$ dx.

      Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = \frac{1}{\sqrt{- x^{2} + 1}}$ dx.

      Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

      1. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int - x\, dx = - \int x\, dx$

            1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

               $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{x^{2}}{2}$

         1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            $\int 1\, dx = x$

         Результат есть: $- \frac{x^{2}}{2} + x$

      Теперь решаем под-интеграл.

   2. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{- \frac{x^{2}}{2} + x}{\sqrt{- x^{2} + 1}} = - \frac{x^{2}}{2 \sqrt{- x^{2} + 1}} + \frac{x}{\sqrt{- x^{2} + 1}}$

   3. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - \frac{x^{2}}{2 \sqrt{- x^{2} + 1}}\, dx = - \frac{1}{2} \int \frac{x^{2}}{\sqrt{- x^{2} + 1}}\, dx$

         TrigSubstitutionRule(theta=_theta, func=sin(_theta), rewritten=sin(_theta)**2, substep=RewriteRule(rewritten=-cos(2*_theta)/2 + 1/2, substep=AddRule(substeps=[ConstantTimesRule(constant=-1/2, other=cos(2*_theta), substep=URule(u_var=_u, u_func=2*_theta, constant=1/2, substep=ConstantTimesRule(constant=1/2, other=cos(_u), substep=TrigRule(func='cos', arg=_u, context=cos(_u), symbol=_u), context=cos(_u), symbol=_u), context=cos(2*_theta), symbol=_theta), context=-cos(2*_theta)/2, symbol=_theta), ConstantRule(constant=1/2, context=1/2, symbol=_theta)], context=-cos(2*_theta)/2 + 1/2, symbol=_theta), context=sin(_theta)**2, symbol=_theta), restriction=And(x < 1, x > -1), context=x**2/sqrt(-x**2 + 1), symbol=x)

         Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{2} \begin{cases} - \frac{x}{2} \sqrt{- x^{2} + 1} + \frac{1}{2} \operatorname{asin}{\left (x \right )} & \text{for}\: x > -1 \wedge x < 1 \end{cases}$

      1. пусть $u = - x^{2} + 1$.

         Тогда пусть $du = - 2 x dx$ и подставим $- \frac{du}{2}$:

         $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

               $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}$

            Таким образом, результат будет: $- \sqrt{u}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- \sqrt{- x^{2} + 1}$

      Результат есть: $- \sqrt{- x^{2} + 1} - \frac{1}{2} \begin{cases} - \frac{x}{2} \sqrt{- x^{2} + 1} + \frac{1}{2} \operatorname{asin}{\left (x \right )} & \text{for}\: x > -1 \wedge x < 1 \end{cases}$

   Метод #3

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(- x + 1\right) \operatorname{asin}{\left (x \right )} = - x \operatorname{asin}{\left (x \right )} + \operatorname{asin}{\left (x \right )}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - x \operatorname{asin}{\left (x \right )}\, dx = - \int x \operatorname{asin}{\left (x \right )}\, dx$

         1. Используем интегрирование по частям:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            пусть $u{\left (x \right )} = \operatorname{asin}{\left (x \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = x$ dx.

            Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = \frac{1}{\sqrt{- x^{2} + 1}}$ dx.

            Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

            1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

               $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

            Теперь решаем под-интеграл.

         2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{x^{2}}{2 \sqrt{- x^{2} + 1}}\, dx = \frac{1}{2} \int \frac{x^{2}}{\sqrt{- x^{2} + 1}}\, dx$

            TrigSubstitutionRule(theta=_theta, func=sin(_theta), rewritten=sin(_theta)**2, substep=RewriteRule(rewritten=-cos(2*_theta)/2 + 1/2, substep=AddRule(substeps=[ConstantTimesRule(constant=-1/2, other=cos(2*_theta), substep=URule(u_var=_u, u_func=2*_theta, constant=1/2, substep=ConstantTimesRule(constant=1/2, other=cos(_u), substep=TrigRule(func='cos', arg=_u, context=cos(_u), symbol=_u), context=cos(_u), symbol=_u), context=cos(2*_theta), symbol=_theta), context=-cos(2*_theta)/2, symbol=_theta), ConstantRule(constant=1/2, context=1/2, symbol=_theta)], context=-cos(2*_theta)/2 + 1/2, symbol=_theta), context=sin(_theta)**2, symbol=_theta), restriction=And(x < 1, x > -1), context=x**2/sqrt(-x**2 + 1), symbol=x)

            Таким образом, результат будет: $\frac{1}{2} \begin{cases} - \frac{x}{2} \sqrt{- x^{2} + 1} + \frac{1}{2} \operatorname{asin}{\left (x \right )} & \text{for}\: x > -1 \wedge x < 1 \end{cases}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{x^{2}}{2} \operatorname{asin}{\left (x \right )} + \frac{1}{2} \begin{cases} - \frac{x}{2} \sqrt{- x^{2} + 1} + \frac{1}{2} \operatorname{asin}{\left (x \right )} & \text{for}\: x > -1 \wedge x < 1 \end{cases}$

      1. Используем интегрирование по частям:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         пусть $u{\left (x \right )} = \operatorname{asin}{\left (x \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = 1$ dx.

         Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = \frac{1}{\sqrt{- x^{2} + 1}}$ dx.

         Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

         1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            $\int 1\, dx = x$

         Теперь решаем под-интеграл.

      2. пусть $u = - x^{2} + 1$.

         Тогда пусть $du = - 2 x dx$ и подставим $- \frac{du}{2}$:

         $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

               $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}$

            Таким образом, результат будет: $- \sqrt{u}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- \sqrt{- x^{2} + 1}$

      Результат есть: $- \frac{x^{2}}{2} \operatorname{asin}{\left (x \right )} + x \operatorname{asin}{\left (x \right )} + \sqrt{- x^{2} + 1} + \frac{1}{2} \begin{cases} - \frac{x}{2} \sqrt{- x^{2} + 1} + \frac{1}{2} \operatorname{asin}{\left (x \right )} & \text{for}\: x > -1 \wedge x < 1 \end{cases}$

2. Теперь упростить:

   $\begin{cases} - \frac{x^{2}}{2} \operatorname{asin}{\left (x \right )} - \frac{x}{4} \sqrt{- x^{2} + 1} + x \operatorname{asin}{\left (x \right )} + \sqrt{- x^{2} + 1} + \frac{1}{4} \operatorname{asin}{\left (x \right )} & \text{for}\: - x > -1 \wedge - x < 1 \end{cases}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\begin{cases} - \frac{x^{2}}{2} \operatorname{asin}{\left (x \right )} - \frac{x}{4} \sqrt{- x^{2} + 1} + x \operatorname{asin}{\left (x \right )} + \sqrt{- x^{2} + 1} + \frac{1}{4} \operatorname{asin}{\left (x \right )} & \text{for}\: - x > -1 \wedge - x < 1 \end{cases}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\begin{cases} - \frac{x^{2}}{2} \operatorname{asin}{\left (x \right )} - \frac{x}{4} \sqrt{- x^{2} + 1} + x \operatorname{asin}{\left (x \right )} + \sqrt{- x^{2} + 1} + \frac{1}{4} \operatorname{asin}{\left (x \right )} & \text{for}\: - x > -1 \wedge - x < 1 \end{cases}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                               
  /                               
 |                            3*pi
 |  (1 - x)*asin(x) dx = -1 + ----
 |                             8  
/                                 
0                                 

$${{3\,\pi}\over{8}}-1$$

Численный ответ

0.178097245096172

Ответ (Неопределённый)

                                          /                 ________                                                   
                                          |                /      2                                                    
                                          <  asin(x)   x*\/  1 - x                                                     
  /                            ________   |- ------- + -------------  for And(-x > -1, -x < 1)                2        
 |                            /      2    \     2            2                                               x *asin(x)
 | (1 - x)*asin(x) dx = C + \/  1 - x   - ---------------------------------------------------- + x*asin(x) - ----------
 |                                                                 2                                             2     
/                                                                                                                      

$$\left(x-{{x^2}\over{2}}\right)\,\arcsin x+{{\arcsin x}\over{4}}-{{x \,\sqrt{1-x^2}}\over{4}}+\sqrt{1-x^2}$$