Интеграл (1-x)*cos(x) (dx)

Вы ввели

  1                  
  /                  
 |                   
 |  (1 - x)*cos(x) dx
 |                   
/                    
0                    

$$\int_{0}^{1} \left(- x + 1\right) \cos{\left (x \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = - x$.

      Тогда пусть $du = - dx$ и подставим $du$:

      $\int - u \cos{\left (u \right )} - \cos{\left (u \right )}\, du$

      1. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int - u \cos{\left (u \right )}\, du = - \int u \cos{\left (u \right )}\, du$

            1. Используем интегрирование по частям:

               $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

               пусть $u{\left (u \right )} = u$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (u \right )} = \cos{\left (u \right )}$ dx.

               Затем $\operatorname{du}{\left (u \right )} = 1$ dx.

               Чтобы найти $v{\left (u \right )}$:

               1. Интеграл от косинуса есть синус:

                  $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}$

               Теперь решаем под-интеграл.

            2. Интеграл от синуса есть минус косинус:

               $\int \sin{\left (u \right )}\, du = - \cos{\left (u \right )}$

            Таким образом, результат будет: $- u \sin{\left (u \right )} - \cos{\left (u \right )}$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int - \cos{\left (u \right )}\, du = - \int \cos{\left (u \right )}\, du$

            1. Интеграл от косинуса есть синус:

               $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}$

            Таким образом, результат будет: $- \sin{\left (u \right )}$

         Результат есть: $- u \sin{\left (u \right )} - \sin{\left (u \right )} - \cos{\left (u \right )}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- x \sin{\left (x \right )} + \sin{\left (x \right )} - \cos{\left (x \right )}$

   Метод #2

   1. Используем интегрирование по частям:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      пусть $u{\left (x \right )} = - x + 1$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = \cos{\left (x \right )}$ dx.

      Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = -1$ dx.

      Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

      1. Интеграл от косинуса есть синус:

         $\int \cos{\left (x \right )}\, dx = \sin{\left (x \right )}$

      Теперь решаем под-интеграл.

   2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - \sin{\left (x \right )}\, dx = - \int \sin{\left (x \right )}\, dx$

      1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

         $\int \sin{\left (x \right )}\, dx = - \cos{\left (x \right )}$

      Таким образом, результат будет: $\cos{\left (x \right )}$

   Метод #3

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(- x + 1\right) \cos{\left (x \right )} = - x \cos{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - x \cos{\left (x \right )}\, dx = - \int x \cos{\left (x \right )}\, dx$

         1. Используем интегрирование по частям:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            пусть $u{\left (x \right )} = x$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = \cos{\left (x \right )}$ dx.

            Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = 1$ dx.

            Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

            1. Интеграл от косинуса есть синус:

               $\int \cos{\left (x \right )}\, dx = \sin{\left (x \right )}$

            Теперь решаем под-интеграл.

         2. Интеграл от синуса есть минус косинус:

            $\int \sin{\left (x \right )}\, dx = - \cos{\left (x \right )}$

         Таким образом, результат будет: $- x \sin{\left (x \right )} - \cos{\left (x \right )}$

      1. Интеграл от косинуса есть синус:

         $\int \cos{\left (x \right )}\, dx = \sin{\left (x \right )}$

      Результат есть: $- x \sin{\left (x \right )} + \sin{\left (x \right )} - \cos{\left (x \right )}$

2. Теперь упростить:

   $- x \sin{\left (x \right )} - \sqrt{2} \cos{\left (x + \frac{\pi}{4} \right )}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- x \sin{\left (x \right )} - \sqrt{2} \cos{\left (x + \frac{\pi}{4} \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$- x \sin{\left (x \right )} - \sqrt{2} \cos{\left (x + \frac{\pi}{4} \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                               
  /                               
 |                                
 |  (1 - x)*cos(x) dx = 1 - cos(1)
 |                                
/                                 
0                                 

$$1-\cos 1$$

Численный ответ

0.45969769413186

Ответ (Неопределённый)

  /                                                  
 |                                                   
 | (1 - x)*cos(x) dx = C - cos(x) - x*sin(x) + sin(x)
 |                                                   
/                                                    

$$-x\,\sin x+\sin x-\cos x$$