Интеграл ((1-x)^3)/3 (dx)

Вы ввели

  1            
  /            
 |             
 |         3   
 |  (1 - x)    
 |  -------- dx
 |     3       
 |             
/              
0              

$$\int_{0}^{1} \frac{1}{3} \left(- x + 1\right)^{3}\, dx$$

Подробное решение

1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

   $\int \frac{1}{3} \left(- x + 1\right)^{3}\, dx = \frac{1}{3} \int \left(- x + 1\right)^{3}\, dx$

   1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

      Метод #1

      1. пусть $u = - x + 1$.

         Тогда пусть $du = - dx$ и подставим $- du$:

         $\int u^{3}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int u^{3}\, du = - \int u^{3}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

               $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{4}}{4}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- \frac{1}{4} \left(- x + 1\right)^{4}$

      Метод #2

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\left(- x + 1\right)^{3} = - x^{3} + 3 x^{2} - 3 x + 1$

      2. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int - x^{3}\, dx = - \int x^{3}\, dx$

            1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

               $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{x^{4}}{4}$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int 3 x^{2}\, dx = 3 \int x^{2}\, dx$

            1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

               $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

            Таким образом, результат будет: $x^{3}$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int - 3 x\, dx = - 3 \int x\, dx$

            1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

               $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{3 x^{2}}{2}$

         1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            $\int 1\, dx = x$

         Результат есть: $- \frac{x^{4}}{4} + x^{3} - \frac{3 x^{2}}{2} + x$

   Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{12} \left(- x + 1\right)^{4}$

2. Теперь упростить:

   $- \frac{1}{12} \left(x - 1\right)^{4}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- \frac{1}{12} \left(x - 1\right)^{4}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$- \frac{1}{12} \left(x - 1\right)^{4}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                   
  /                   
 |                    
 |         3          
 |  (1 - x)           
 |  -------- dx = 1/12
 |     3              
 |                    
/                     
0                     

$${{1}\over{12}}$$

Численный ответ

0.0833333333333333

Ответ (Неопределённый)

  /                          
 |                           
 |        3                 4
 | (1 - x)           (1 - x) 
 | -------- dx = C - --------
 |    3                 12   
 |                           
/                            

$${{-{{x^4}\over{4}}+x^3-{{3\,x^2}\over{2}}+x}\over{3}}$$