Интеграл (1+2*x)^2 (dx)

Вы ввели

  1              
  /              
 |               
 |           2   
 |  (1 + 2*x)  dx
 |               
/                
0                

$$\int_{0}^{1} \left(2 x + 1\right)^{2}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = 2 x + 1$.

      Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

      $\int u^{2}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int u^{2}\, du = \frac{1}{2} \int u^{2}\, du$

         1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{u^{3}}{6}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{1}{6} \left(2 x + 1\right)^{3}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(2 x + 1\right)^{2} = 4 x^{2} + 4 x + 1$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 4 x^{2}\, dx = 4 \int x^{2}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{4 x^{3}}{3}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 4 x\, dx = 4 \int x\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Таким образом, результат будет: $2 x^{2}$

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int 1\, dx = x$

      Результат есть: $\frac{4 x^{3}}{3} + 2 x^{2} + x$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{1}{6} \left(2 x + 1\right)^{3}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{1}{6} \left(2 x + 1\right)^{3}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                     
  /                     
 |                      
 |           2          
 |  (1 + 2*x)  dx = 13/3
 |                      
/                       
0                       

$${{13}\over{3}}$$

Численный ответ

4.33333333333333

Ответ (Неопределённый)

  /                              
 |                              3
 |          2          (1 + 2*x) 
 | (1 + 2*x)  dx = C + ----------
 |                         6     
/                                

$${{4\,x^3}\over{3}}+2\,x^2+x$$