Интеграл (1+cos(x))^3 (dx)

Вы ввели

  1                 
  /                 
 |                  
 |              3   
 |  (1 + cos(x))  dx
 |                  
/                   
0                   

$$\int_{0}^{1} \left(\cos{\left (x \right )} + 1\right)^{3}\, dx$$

Подробное решение

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\left(\cos{\left (x \right )} + 1\right)^{3} = \cos^{3}{\left (x \right )} + 3 \cos^{2}{\left (x \right )} + 3 \cos{\left (x \right )} + 1$

2. Интегрируем почленно:

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\cos^{3}{\left (x \right )} = \left(- \sin^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \cos{\left (x \right )}$

   2. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

      Метод #1

      1. пусть $u = \sin{\left (x \right )}$.

         Тогда пусть $du = \cos{\left (x \right )} dx$ и подставим $du$:

         $\int - u^{2} + 1\, du$

         1. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int - u^{2}\, du = - \int u^{2}\, du$

               1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

                  $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

               Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{3}}{3}$

            1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

               $\int 1\, du = u$

            Результат есть: $- \frac{u^{3}}{3} + u$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- \frac{1}{3} \sin^{3}{\left (x \right )} + \sin{\left (x \right )}$

      Метод #2

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\left(- \sin^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \cos{\left (x \right )} = - \sin^{2}{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )}$

      2. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int - \sin^{2}{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )}\, dx = - \int \sin^{2}{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )}\, dx$

            1. пусть $u = \sin{\left (x \right )}$.

               Тогда пусть $du = \cos{\left (x \right )} dx$ и подставим $du$:

               $\int u^{2}\, du$

               1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

                  $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $\frac{1}{3} \sin^{3}{\left (x \right )}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{3} \sin^{3}{\left (x \right )}$

         1. Интеграл от косинуса есть синус:

            $\int \cos{\left (x \right )}\, dx = \sin{\left (x \right )}$

         Результат есть: $- \frac{1}{3} \sin^{3}{\left (x \right )} + \sin{\left (x \right )}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int 3 \cos^{2}{\left (x \right )}\, dx = 3 \int \cos^{2}{\left (x \right )}\, dx$

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\cos^{2}{\left (x \right )} = \frac{1}{2} \cos{\left (2 x \right )} + \frac{1}{2}$

      2. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{1}{2} \cos{\left (2 x \right )}\, dx = \frac{1}{2} \int \cos{\left (2 x \right )}\, dx$

            1. пусть $u = 2 x$.

               Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

               $\int \cos{\left (u \right )}\, du$

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{2} \int \cos{\left (u \right )}\, du$

                  1. Интеграл от косинуса есть синус:

                     $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}$

                  Таким образом, результат будет: $\frac{1}{2} \sin{\left (u \right )}$

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $\frac{1}{2} \sin{\left (2 x \right )}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{1}{4} \sin{\left (2 x \right )}$

         1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

         Результат есть: $\frac{x}{2} + \frac{1}{4} \sin{\left (2 x \right )}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{3 x}{2} + \frac{3}{4} \sin{\left (2 x \right )}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int 3 \cos{\left (x \right )}\, dx = 3 \int \cos{\left (x \right )}\, dx$

      1. Интеграл от косинуса есть синус:

         $\int \cos{\left (x \right )}\, dx = \sin{\left (x \right )}$

      Таким образом, результат будет: $3 \sin{\left (x \right )}$

   1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

      $\int 1\, dx = x$

   Результат есть: $\frac{5 x}{2} - \frac{1}{3} \sin^{3}{\left (x \right )} + 4 \sin{\left (x \right )} + \frac{3}{4} \sin{\left (2 x \right )}$

3. Теперь упростить:

   $\frac{5 x}{2} + \frac{15}{4} \sin{\left (x \right )} + \frac{3}{4} \sin{\left (2 x \right )} + \frac{1}{12} \sin{\left (3 x \right )}$

4. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{5 x}{2} + \frac{15}{4} \sin{\left (x \right )} + \frac{3}{4} \sin{\left (2 x \right )} + \frac{1}{12} \sin{\left (3 x \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{5 x}{2} + \frac{15}{4} \sin{\left (x \right )} + \frac{3}{4} \sin{\left (2 x \right )} + \frac{1}{12} \sin{\left (3 x \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                                                                                       
  /                                                                                                       
 |                                         3           2           2                                      
 |              3                     2*sin (1)   3*cos (1)   3*sin (1)      2             3*cos(1)*sin(1)
 |  (1 + cos(x))  dx = 1 + 3*sin(1) + --------- + --------- + --------- + cos (1)*sin(1) + ---------------
 |                                        3           2           2                               2       
/                                                                                                         
0                                                                                                         

$${{3\,\sin 2+6}\over{4}}-{{\sin ^31}\over{3}}+4\,\sin 1+1$$

Численный ответ

6.34924926382053

Ответ (Неопределённый)

  /                                                            
 |                                      3                      
 |             3                     sin (x)   3*sin(2*x)   5*x
 | (1 + cos(x))  dx = C + 4*sin(x) - ------- + ---------- + ---
 |                                      3          4         2 
/                                                              

$${{3\,\left({{\sin \left(2\,x\right)}\over{2}}+x\right)}\over{2}}-{{ \sin ^3x}\over{3}}+4\,\sin x+x$$