Интеграл (1+log(x))^2 (dx)

Вы ввели

  1                 
  /                 
 |                  
 |              2   
 |  (1 + log(x))  dx
 |                  
/                   
0                   

$$\int_{0}^{1} \left(\log{\left (x \right )} + 1\right)^{2}\, dx$$

Подробное решение

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\left(\log{\left (x \right )} + 1\right)^{2} = \log^{2}{\left (x \right )} + 2 \log{\left (x \right )} + 1$

2. Интегрируем почленно:

   1. Не могу найти шаги в поиске этот интеграла.

      Но интеграл

      $x \log^{2}{\left (x \right )} - 2 x \log{\left (x \right )} + 2 x$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int 2 \log{\left (x \right )}\, dx = 2 \int \log{\left (x \right )}\, dx$

      1. Используем интегрирование по частям:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         пусть $u{\left (x \right )} = \log{\left (x \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = 1$ dx.

         Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = \frac{1}{x}$ dx.

         Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

         1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            $\int 1\, dx = x$

         Теперь решаем под-интеграл.

      2. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int 1\, dx = x$

      Таким образом, результат будет: $2 x \log{\left (x \right )} - 2 x$

   1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

      $\int 1\, dx = x$

   Результат есть: $x \log^{2}{\left (x \right )} + x$

3. Теперь упростить:

   $x \left(\log^{2}{\left (x \right )} + 1\right)$

4. Добавляем постоянную интегрирования:

   $x \left(\log^{2}{\left (x \right )} + 1\right)+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$x \left(\log^{2}{\left (x \right )} + 1\right)+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                     
  /                     
 |                      
 |              2       
 |  (1 + log(x))  dx = 1
 |                      
/                       
0                       

$$1$$

Численный ответ

1.0

Ответ (Неопределённый)

  /                                    
 |                                     
 |             2                   2   
 | (1 + log(x))  dx = C + x + x*log (x)
 |                                     
/                                      

$$x\,\left(\left(\log x\right)^2-2\,\log x+2\right)+2\,\left(x\,\log x-x\right)+x$$