Интеграл (1+sin(2*x)) (dx)

Вы ввели

  1                  
  /                  
 |                   
 |  (1 + sin(2*x)) dx
 |                   
/                    
0                    

$$\int\limits_{0}^{1} \left(\sin{\left(2 x \right)} + 1\right)\, dx$$

Подробное решение

1. Интегрируем почленно:

   1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

      Метод #1

      1. пусть $u = 2 x$.

         Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

         $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{4}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{2}$

            1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

               $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}$

      Метод #2

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 2 \int \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

         1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

            Метод #1

            1. пусть $u = \cos{\left(x \right)}$.

               Тогда пусть $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ и подставим $- du$:

               $\int u\, du$

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int \left(- u\right)\, du = - \int u\, du$

                  1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

                     $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

                  Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{2}}{2}$

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $- \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}$

            Метод #2

            1. пусть $u = \sin{\left(x \right)}$.

               Тогда пусть $du = \cos{\left(x \right)} dx$ и подставим $du$:

               $\int u\, du$

               1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

                  $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $\frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{2}$

         Таким образом, результат будет: $- \cos^{2}{\left(x \right)}$

   1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

      $\int 1\, dx = x$

   Результат есть: $x - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $x - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$x - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$

Ответ

3   cos(2)
- - ------
2     2   

$$\frac{3}{2} - \frac{\cos{\left(2 \right)}}{2}$$

=

=

3   cos(2)
- - ------
2     2   

$$\frac{3}{2} - \frac{\cos{\left(2 \right)}}{2}$$

Численный ответ

1.70807341827357

Ответ (Неопределённый)

  /                                    
 |                             cos(2*x)
 | (1 + sin(2*x)) dx = C + x - --------
 |                                2    
/                                      

$$\int \left(\sin{\left(2 x \right)} + 1\right)\, dx = C + x - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}$$

График