Интеграл 1+sin(x)^(2) (dx)

Вы ввели

  1                 
  /                 
 |                  
 |  /       2   \   
 |  \1 + sin (x)/ dx
 |                  
/                   
0                   

$$\int_{0}^{1} \sin^{2}{\left (x \right )} + 1\, dx$$

Подробное решение

1. Интегрируем почленно:

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\sin^{2}{\left (x \right )} = - \frac{1}{2} \cos{\left (2 x \right )} + \frac{1}{2}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - \frac{1}{2} \cos{\left (2 x \right )}\, dx = - \frac{1}{2} \int \cos{\left (2 x \right )}\, dx$

         1. пусть $u = 2 x$.

            Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

            $\int \cos{\left (u \right )}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{2} \int \cos{\left (u \right )}\, du$

               1. Интеграл от косинуса есть синус:

                  $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}$

               Таким образом, результат будет: $\frac{1}{2} \sin{\left (u \right )}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\frac{1}{2} \sin{\left (2 x \right )}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{4} \sin{\left (2 x \right )}$

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

      Результат есть: $\frac{x}{2} - \frac{1}{4} \sin{\left (2 x \right )}$

   1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

      $\int 1\, dx = x$

   Результат есть: $\frac{3 x}{2} - \frac{1}{4} \sin{\left (2 x \right )}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{3 x}{2} - \frac{1}{4} \sin{\left (2 x \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{3 x}{2} - \frac{1}{4} \sin{\left (2 x \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                     
  /                                     
 |                                      
 |  /       2   \      3   cos(1)*sin(1)
 |  \1 + sin (x)/ dx = - - -------------
 |                     2         2      
/                                       
0                                       

$$-{{\sin 2-6}\over{4}}$$

Численный ответ

1.27267564329358

Ответ (Неопределённый)

  /                                     
 |                                      
 | /       2   \          sin(2*x)   3*x
 | \1 + sin (x)/ dx = C - -------- + ---
 |                           4        2 
/                                       

$${{x-{{\sin \left(2\,x\right)}\over{2}}}\over{2}}+x$$