Интеграл (1+3*x)^5 (dx)

Вы ввели

  1              
  /              
 |               
 |           5   
 |  (1 + 3*x)  dx
 |               
/                
0                

$$\int_{0}^{1} \left(3 x + 1\right)^{5}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = 3 x + 1$.

      Тогда пусть $du = 3 dx$ и подставим $\frac{du}{3}$:

      $\int u^{5}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int u^{5}\, du = \frac{1}{3} \int u^{5}\, du$

         1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int u^{5}\, du = \frac{u^{6}}{6}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{u^{6}}{18}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{1}{18} \left(3 x + 1\right)^{6}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(3 x + 1\right)^{5} = 243 x^{5} + 405 x^{4} + 270 x^{3} + 90 x^{2} + 15 x + 1$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 243 x^{5}\, dx = 243 \int x^{5}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{81 x^{6}}{2}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 405 x^{4}\, dx = 405 \int x^{4}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

         Таким образом, результат будет: $81 x^{5}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 270 x^{3}\, dx = 270 \int x^{3}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{135 x^{4}}{2}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 90 x^{2}\, dx = 90 \int x^{2}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Таким образом, результат будет: $30 x^{3}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 15 x\, dx = 15 \int x\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{15 x^{2}}{2}$

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int 1\, dx = x$

      Результат есть: $\frac{81 x^{6}}{2} + 81 x^{5} + \frac{135 x^{4}}{2} + 30 x^{3} + \frac{15 x^{2}}{2} + x$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{1}{18} \left(3 x + 1\right)^{6}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{1}{18} \left(3 x + 1\right)^{6}+ \mathrm{constant}$

Численный ответ

227.5

Ответ (Неопределённый)

  /                              
 |                              6
 |          5          (1 + 3*x) 
 | (1 + 3*x)  dx = C + ----------
 |                         18    
/                                

$${{81\,x^6}\over{2}}+81\,x^5+{{135\,x^4}\over{2}}+30\,x^3+{{15\,x^2 }\over{2}}+x$$