Интеграл (1+3*x)^5 (dx)

Преподаватель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

d

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

    Решение

    Вы ввели [src]
      1              
      /              
     |               
     |           5   
     |  (1 + 3*x)  dx
     |               
    /                
    0                
    01(3x+1)5dx\int_{0}^{1} \left(3 x + 1\right)^{5}\, dx
    Подробное решение
    1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

      Метод #1

      1. пусть u=3x+1u = 3 x + 1.

        Тогда пусть du=3dxdu = 3 dx и подставим du3\frac{du}{3}:

        u5du\int u^{5}\, du

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          u5du=13u5du\int u^{5}\, du = \frac{1}{3} \int u^{5}\, du

          1. Интеграл unu^{n} есть un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1}:

            u5du=u66\int u^{5}\, du = \frac{u^{6}}{6}

          Таким образом, результат будет: u618\frac{u^{6}}{18}

        Если сейчас заменить uu ещё в:

        118(3x+1)6\frac{1}{18} \left(3 x + 1\right)^{6}

      Метод #2

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

        (3x+1)5=243x5+405x4+270x3+90x2+15x+1\left(3 x + 1\right)^{5} = 243 x^{5} + 405 x^{4} + 270 x^{3} + 90 x^{2} + 15 x + 1

      2. Интегрируем почленно:

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          243x5dx=243x5dx\int 243 x^{5}\, dx = 243 \int x^{5}\, dx

          1. Интеграл xnx^{n} есть xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1}:

            x5dx=x66\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}

          Таким образом, результат будет: 81x62\frac{81 x^{6}}{2}

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          405x4dx=405x4dx\int 405 x^{4}\, dx = 405 \int x^{4}\, dx

          1. Интеграл xnx^{n} есть xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1}:

            x4dx=x55\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}

          Таким образом, результат будет: 81x581 x^{5}

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          270x3dx=270x3dx\int 270 x^{3}\, dx = 270 \int x^{3}\, dx

          1. Интеграл xnx^{n} есть xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1}:

            x3dx=x44\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}

          Таким образом, результат будет: 135x42\frac{135 x^{4}}{2}

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          90x2dx=90x2dx\int 90 x^{2}\, dx = 90 \int x^{2}\, dx

          1. Интеграл xnx^{n} есть xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1}:

            x2dx=x33\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}

          Таким образом, результат будет: 30x330 x^{3}

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          15xdx=15xdx\int 15 x\, dx = 15 \int x\, dx

          1. Интеграл xnx^{n} есть xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1}:

            xdx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

          Таким образом, результат будет: 15x22\frac{15 x^{2}}{2}

        1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

          1dx=x\int 1\, dx = x

        Результат есть: 81x62+81x5+135x42+30x3+15x22+x\frac{81 x^{6}}{2} + 81 x^{5} + \frac{135 x^{4}}{2} + 30 x^{3} + \frac{15 x^{2}}{2} + x

    2. Добавляем постоянную интегрирования:

      118(3x+1)6+constant\frac{1}{18} \left(3 x + 1\right)^{6}+ \mathrm{constant}


    Ответ:

    118(3x+1)6+constant\frac{1}{18} \left(3 x + 1\right)^{6}+ \mathrm{constant}

    График
    02468-8-6-4-2-1010-100000000100000000
    Численный ответ [src]
    227.5
    Ответ (Неопределённый) [src]
      /                              
     |                              6
     |          5          (1 + 3*x) 
     | (1 + 3*x)  dx = C + ----------
     |                         18    
    /                                
    81x62+81x5+135x42+30x3+15x22+x{{81\,x^6}\over{2}}+81\,x^5+{{135\,x^4}\over{2}}+30\,x^3+{{15\,x^2 }\over{2}}+x