Интеграл 5/(x+1) (dx)

Преподаватель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

d

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

    Решение

    Вы ввели [src]
      1         
      /         
     |          
     |    5     
     |  ----- dx
     |  x + 1   
     |          
    /           
    0           
    015x+1dx\int_{0}^{1} \frac{5}{x + 1}\, dx
    Подробное решение
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      5x+1dx=51x+1dx\int \frac{5}{x + 1}\, dx = 5 \int \frac{1}{x + 1}\, dx

      1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

        Метод #1

        1. пусть u=x+1u = x + 1.

          Тогда пусть du=dxdu = dx и подставим dudu:

          1udu\int \frac{1}{u}\, du

          1. Интеграл 1u\frac{1}{u} есть log(u)\log{\left (u \right )}.

          Если сейчас заменить uu ещё в:

          log(x+1)\log{\left (x + 1 \right )}

        Метод #2

        1. Перепишите подынтегральное выражение:

          1x+1=1x+1\frac{1}{x + 1} = \frac{1}{x + 1}

        2. пусть u=x+1u = x + 1.

          Тогда пусть du=dxdu = dx и подставим dudu:

          1udu\int \frac{1}{u}\, du

          1. Интеграл 1u\frac{1}{u} есть log(u)\log{\left (u \right )}.

          Если сейчас заменить uu ещё в:

          log(x+1)\log{\left (x + 1 \right )}

      Таким образом, результат будет: 5log(x+1)5 \log{\left (x + 1 \right )}

    2. Теперь упростить:

      5log(x+1)5 \log{\left (x + 1 \right )}

    3. Добавляем постоянную интегрирования:

      5log(x+1)+constant5 \log{\left (x + 1 \right )}+ \mathrm{constant}


    Ответ:

    5log(x+1)+constant5 \log{\left (x + 1 \right )}+ \mathrm{constant}

    График
    02468-8-6-4-2-1010-100100
    Ответ [src]
      1                    
      /                    
     |                     
     |    5                
     |  ----- dx = 5*log(2)
     |  x + 1              
     |                     
    /                      
    0                      
    5log25\,\log 2
    Численный ответ [src]
    3.46573590279973
    Ответ (Неопределённый) [src]
      /                           
     |                            
     |   5                        
     | ----- dx = C + 5*log(x + 1)
     | x + 1                      
     |                            
    /                             
    5log(x+1)5\,\log \left(x+1\right)