Интеграл (5*t-1)^4 (dx)

Преподаватель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

d

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

    Решение

    Вы ввели [src]
      1              
      /              
     |               
     |           4   
     |  (5*t - 1)  dt
     |               
    /                
    0                
    01(5t1)4dt\int\limits_{0}^{1} \left(5 t - 1\right)^{4}\, dt
    Подробное решение
    1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

      Метод #1

      1. пусть u=5t1u = 5 t - 1.

        Тогда пусть du=5dtdu = 5 dt и подставим du5\frac{du}{5}:

        u425du\int \frac{u^{4}}{25}\, du

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          u45du=u4du5\int \frac{u^{4}}{5}\, du = \frac{\int u^{4}\, du}{5}

          1. Интеграл unu^{n} есть un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} когда n1n \neq -1:

            u4du=u55\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}

          Таким образом, результат будет: u525\frac{u^{5}}{25}

        Если сейчас заменить uu ещё в:

        (5t1)525\frac{\left(5 t - 1\right)^{5}}{25}

      Метод #2

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

        (5t1)4=625t4500t3+150t220t+1\left(5 t - 1\right)^{4} = 625 t^{4} - 500 t^{3} + 150 t^{2} - 20 t + 1

      2. Интегрируем почленно:

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          625t4dt=625t4dt\int 625 t^{4}\, dt = 625 \int t^{4}\, dt

          1. Интеграл tnt^{n} есть tn+1n+1\frac{t^{n + 1}}{n + 1} когда n1n \neq -1:

            t4dt=t55\int t^{4}\, dt = \frac{t^{5}}{5}

          Таким образом, результат будет: 125t5125 t^{5}

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          (500t3)dt=500t3dt\int \left(- 500 t^{3}\right)\, dt = - 500 \int t^{3}\, dt

          1. Интеграл tnt^{n} есть tn+1n+1\frac{t^{n + 1}}{n + 1} когда n1n \neq -1:

            t3dt=t44\int t^{3}\, dt = \frac{t^{4}}{4}

          Таким образом, результат будет: 125t4- 125 t^{4}

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          150t2dt=150t2dt\int 150 t^{2}\, dt = 150 \int t^{2}\, dt

          1. Интеграл tnt^{n} есть tn+1n+1\frac{t^{n + 1}}{n + 1} когда n1n \neq -1:

            t2dt=t33\int t^{2}\, dt = \frac{t^{3}}{3}

          Таким образом, результат будет: 50t350 t^{3}

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          (20t)dt=20tdt\int \left(- 20 t\right)\, dt = - 20 \int t\, dt

          1. Интеграл tnt^{n} есть tn+1n+1\frac{t^{n + 1}}{n + 1} когда n1n \neq -1:

            tdt=t22\int t\, dt = \frac{t^{2}}{2}

          Таким образом, результат будет: 10t2- 10 t^{2}

        1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

          1dt=t\int 1\, dt = t

        Результат есть: 125t5125t4+50t310t2+t125 t^{5} - 125 t^{4} + 50 t^{3} - 10 t^{2} + t

    2. Теперь упростить:

      (5t1)525\frac{\left(5 t - 1\right)^{5}}{25}

    3. Добавляем постоянную интегрирования:

      (5t1)525+constant\frac{\left(5 t - 1\right)^{5}}{25}+ \mathrm{constant}


    Ответ:

    (5t1)525+constant\frac{\left(5 t - 1\right)^{5}}{25}+ \mathrm{constant}

    График
    0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.900500
    Ответ [src]
    41
    4141
    =
    =
    41
    4141
    Численный ответ [src]
    41.0
    Ответ (Неопределённый) [src]
      /                              
     |                              5
     |          4          (5*t - 1) 
     | (5*t - 1)  dt = C + ----------
     |                         25    
    /                                
    (5t1)4dt=C+(5t1)525\int \left(5 t - 1\right)^{4}\, dt = C + \frac{\left(5 t - 1\right)^{5}}{25}
    График
    Интеграл (5*t-1)^4 (dx) /media/krcore-image-pods/hash/indefinite/c/0e/709233d57c6ea13ddb4a5a19fb66b.png