Интеграл (5*x+1)^7 (dx)

Вы ввели

  1              
  /              
 |               
 |           7   
 |  (5*x + 1)  dx
 |               
/                
0                

$$\int_{0}^{1} \left(5 x + 1\right)^{7}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = 5 x + 1$.

      Тогда пусть $du = 5 dx$ и подставим $\frac{du}{5}$:

      $\int u^{7}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int u^{7}\, du = \frac{1}{5} \int u^{7}\, du$

         1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int u^{7}\, du = \frac{u^{8}}{8}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{u^{8}}{40}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{1}{40} \left(5 x + 1\right)^{8}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(5 x + 1\right)^{7} = 78125 x^{7} + 109375 x^{6} + 65625 x^{5} + 21875 x^{4} + 4375 x^{3} + 525 x^{2} + 35 x + 1$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 78125 x^{7}\, dx = 78125 \int x^{7}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{7}\, dx = \frac{x^{8}}{8}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{78125 x^{8}}{8}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 109375 x^{6}\, dx = 109375 \int x^{6}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{6}\, dx = \frac{x^{7}}{7}$

         Таким образом, результат будет: $15625 x^{7}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 65625 x^{5}\, dx = 65625 \int x^{5}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{21875 x^{6}}{2}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 21875 x^{4}\, dx = 21875 \int x^{4}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

         Таким образом, результат будет: $4375 x^{5}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 4375 x^{3}\, dx = 4375 \int x^{3}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{4375 x^{4}}{4}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 525 x^{2}\, dx = 525 \int x^{2}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Таким образом, результат будет: $175 x^{3}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 35 x\, dx = 35 \int x\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{35 x^{2}}{2}$

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int 1\, dx = x$

      Результат есть: $\frac{78125 x^{8}}{8} + 15625 x^{7} + \frac{21875 x^{6}}{2} + 4375 x^{5} + \frac{4375 x^{4}}{4} + 175 x^{3} + \frac{35 x^{2}}{2} + x$

2. Теперь упростить:

   $\frac{1}{40} \left(5 x + 1\right)^{8}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{1}{40} \left(5 x + 1\right)^{8}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{1}{40} \left(5 x + 1\right)^{8}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                         
  /                         
 |                          
 |           7              
 |  (5*x + 1)  dx = 335923/8
 |                          
/                           
0                           

$${{335923}\over{8}}$$

Численный ответ

41990.375

Ответ (Неопределённый)

  /                              
 |                              8
 |          7          (5*x + 1) 
 | (5*x + 1)  dx = C + ----------
 |                         40    
/                                

$${{\left(5\,x+1\right)^8}\over{40}}$$