Интеграл sec(2*x) (dx)

Вы ввели

  1            
  /            
 |             
 |  sec(2*x) dx
 |             
/              
0              

$$\int_{0}^{1} \sec{\left (2 x \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\sec{\left (2 x \right )} = \frac{\tan{\left (2 x \right )} \sec{\left (2 x \right )} + \sec^{2}{\left (2 x \right )}}{\tan{\left (2 x \right )} + \sec{\left (2 x \right )}}$

2. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = \tan{\left (2 x \right )} + \sec{\left (2 x \right )}$.

      Тогда пусть $du = \left(2 \tan^{2}{\left (2 x \right )} + 2 \tan{\left (2 x \right )} \sec{\left (2 x \right )} + 2\right) dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

      $\int \frac{1}{u}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u}\, du$

         1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

         Таким образом, результат будет: $\frac{1}{2} \log{\left (u \right )}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{1}{2} \log{\left (\tan{\left (2 x \right )} + \sec{\left (2 x \right )} \right )}$

   Метод #2

   1. пусть $u = 2 x$.

      Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

      $\int \sec{\left (u \right )}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \sec{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{2} \int \sec{\left (u \right )}\, du$

         1. Перепишите подынтегральное выражение:

            $\sec{\left (u \right )} = \frac{\tan{\left (u \right )} \sec{\left (u \right )} + \sec^{2}{\left (u \right )}}{\tan{\left (u \right )} + \sec{\left (u \right )}}$

         2. пусть $u = \tan{\left (u \right )} + \sec{\left (u \right )}$.

            Тогда пусть $du = \left(\tan^{2}{\left (u \right )} + \tan{\left (u \right )} \sec{\left (u \right )} + 1\right) du$ и подставим $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\log{\left (\tan{\left (u \right )} + \sec{\left (u \right )} \right )}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{1}{2} \log{\left (\tan{\left (u \right )} + \sec{\left (u \right )} \right )}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{1}{2} \log{\left (\tan{\left (2 x \right )} + \sec{\left (2 x \right )} \right )}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{1}{2} \log{\left (\tan{\left (2 x \right )} + \sec{\left (2 x \right )} \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{1}{2} \log{\left (\tan{\left (2 x \right )} + \sec{\left (2 x \right )} \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                                  
  /                                                  
 |                  log(1 - sin(2))   log(1 + sin(2))
 |  sec(2*x) dx = - --------------- + ---------------
 |                         4                 4       
/                                                    
0                                                    

$${{\log \left(\sin 2+1\right)}\over{4}}-{{\log \left(1-\sin 2\right) }\over{4}}$$

Численный ответ

-0.637807798738107

Ответ (Неопределённый)

  /                                          
 |                   log(sec(2*x) + tan(2*x))
 | sec(2*x) dx = C + ------------------------
 |                              2            
/                                            

$${{\log \left(\tan \left(2\,x\right)+\sec \left(2\,x\right)\right) }\over{2}}$$