Интеграл sec(x)^(2)/tan(x) (dx)

Вы ввели

  1           
  /           
 |            
 |     2      
 |  sec (x)   
 |  ------- dx
 |   tan(x)   
 |            
/             
0             

$$\int_{0}^{1} \frac{\sec^{2}{\left (x \right )}}{\tan{\left (x \right )}}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = \tan{\left (x \right )}$.

      Тогда пусть $du = \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) dx$ и подставим $du$:

      $\int \frac{1}{u}\, du$

      1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\log{\left (\tan{\left (x \right )} \right )}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{\sec^{2}{\left (x \right )}}{\tan{\left (x \right )}} = \frac{\tan{\left (x \right )} \sec^{2}{\left (x \right )}}{\sec^{2}{\left (x \right )} - 1}$

   2. пусть $u = \sec^{2}{\left (x \right )} - 1$.

      Тогда пусть $du = 2 \tan{\left (x \right )} \sec^{2}{\left (x \right )} dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

      $\int \frac{1}{u}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u}\, du$

         1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

         Таким образом, результат будет: $\frac{1}{2} \log{\left (u \right )}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{1}{2} \log{\left (\sec^{2}{\left (x \right )} - 1 \right )}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\log{\left (\tan{\left (x \right )} \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\log{\left (\tan{\left (x \right )} \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                       
  /                       
 |                        
 |     2                  
 |  sec (x)           pi*I
 |  ------- dx = oo - ----
 |   tan(x)            2  
 |                        
/                         
0                         

$${\it \%a}$$

Численный ответ

44.5334688581098

Ответ (Неопределённый)

  /                            
 |                             
 |    2                        
 | sec (x)                     
 | ------- dx = C + log(tan(x))
 |  tan(x)                     
 |                             
/                              

$$\log \tan x$$