Интеграл (7-2*x)^4 (dx)

Вы ввели

  1              
  /              
 |               
 |           4   
 |  (7 - 2*x)  dx
 |               
/                
0                

$$\int_{0}^{1} \left(- 2 x + 7\right)^{4}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = - 2 x + 7$.

      Тогда пусть $du = - 2 dx$ и подставим $- \frac{du}{2}$:

      $\int u^{4}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int u^{4}\, du = - \frac{1}{2} \int u^{4}\, du$

         1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{5}}{10}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- \frac{1}{10} \left(- 2 x + 7\right)^{5}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(- 2 x + 7\right)^{4} = 16 x^{4} - 224 x^{3} + 1176 x^{2} - 2744 x + 2401$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 16 x^{4}\, dx = 16 \int x^{4}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{16 x^{5}}{5}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - 224 x^{3}\, dx = - 224 \int x^{3}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Таким образом, результат будет: $- 56 x^{4}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 1176 x^{2}\, dx = 1176 \int x^{2}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Таким образом, результат будет: $392 x^{3}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - 2744 x\, dx = - 2744 \int x\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Таким образом, результат будет: $- 1372 x^{2}$

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int 2401\, dx = 2401 x$

      Результат есть: $\frac{16 x^{5}}{5} - 56 x^{4} + 392 x^{3} - 1372 x^{2} + 2401 x$

2. Теперь упростить:

   $\frac{1}{10} \left(2 x - 7\right)^{5}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{1}{10} \left(2 x - 7\right)^{5}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{1}{10} \left(2 x - 7\right)^{5}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                       
  /                       
 |                        
 |           4            
 |  (7 - 2*x)  dx = 6841/5
 |                        
/                         
0                         

$${{6841}\over{5}}$$

Численный ответ

1368.2

Ответ (Неопределённый)

  /                              
 |                              5
 |          4          (7 - 2*x) 
 | (7 - 2*x)  dx = C - ----------
 |                         10    
/                                

$${{16\,x^5}\over{5}}-56\,x^4+392\,x^3-1372\,x^2+2401\,x$$