Интеграл (7*x-1)^23 (dx)

Вы ввели

  1               
  /               
 |                
 |           23   
 |  (7*x - 1)   dx
 |                
/                 
0                 

$$\int_{0}^{1} \left(7 x - 1\right)^{23}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = 7 x - 1$.

      Тогда пусть $du = 7 dx$ и подставим $\frac{du}{7}$:

      $\int u^{23}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int u^{23}\, du = \frac{1}{7} \int u^{23}\, du$

         1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int u^{23}\, du = \frac{u^{24}}{24}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{u^{24}}{168}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{1}{168} \left(7 x - 1\right)^{24}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(7 x - 1\right)^{23} = 27368747340080916343 x^{23} - 89925884117408725127 x^{22} + 141312103613070853771 x^{21} - 141312103613070853771 x^{20} + 100937216866479181265 x^{19} - 54794489156088698401 x^{18} + 23483352495466585029 x^{17} - 8147285559651672357 x^{16} + 2327795874186192102 x^{15} - 554237112901474310 x^{14} + 110847422580294862 x^{13} - 18714499916153678 x^{12} + 2673499988021954 x^{11} - 323170328222434 x^{10} + 32976564104330 x^{9} - 2826562637514 x^{8} + 201897331251 x^{7} - 11876313603 x^{6} + 565538743 x^{5} - 21260855 x^{4} + 607453 x^{3} - 12397 x^{2} + 161 x - 1$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 27368747340080916343 x^{23}\, dx = 27368747340080916343 \int x^{23}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{23}\, dx = \frac{x^{24}}{24}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{27368747340080916343 x^{24}}{24}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - 89925884117408725127 x^{22}\, dx = - 89925884117408725127 \int x^{22}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{22}\, dx = \frac{x^{23}}{23}$

         Таким образом, результат будет: $- 3909821048582988049 x^{23}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 141312103613070853771 x^{21}\, dx = 141312103613070853771 \int x^{21}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{21}\, dx = \frac{x^{22}}{22}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{12846554873915532161 x^{22}}{2}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - 141312103613070853771 x^{20}\, dx = - 141312103613070853771 \int x^{20}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{20}\, dx = \frac{x^{21}}{21}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{20187443373295836253 x^{21}}{3}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 100937216866479181265 x^{19}\, dx = 100937216866479181265 \int x^{19}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{19}\, dx = \frac{x^{20}}{20}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{20187443373295836253 x^{20}}{4}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - 54794489156088698401 x^{18}\, dx = - 54794489156088698401 \int x^{18}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{18}\, dx = \frac{x^{19}}{19}$

         Таким образом, результат будет: $- 2883920481899405179 x^{19}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 23483352495466585029 x^{17}\, dx = 23483352495466585029 \int x^{17}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{17}\, dx = \frac{x^{18}}{18}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{7827784165155528343 x^{18}}{6}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - 8147285559651672357 x^{16}\, dx = - 8147285559651672357 \int x^{16}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{16}\, dx = \frac{x^{17}}{17}$

         Таким образом, результат будет: $- 479252091744216021 x^{17}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 2327795874186192102 x^{15}\, dx = 2327795874186192102 \int x^{15}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{15}\, dx = \frac{x^{16}}{16}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{1163897937093096051 x^{16}}{8}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - 554237112901474310 x^{14}\, dx = - 554237112901474310 \int x^{14}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{14}\, dx = \frac{x^{15}}{15}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{110847422580294862 x^{15}}{3}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 110847422580294862 x^{13}\, dx = 110847422580294862 \int x^{13}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{13}\, dx = \frac{x^{14}}{14}$

         Таким образом, результат будет: $7917673041449633 x^{14}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - 18714499916153678 x^{12}\, dx = - 18714499916153678 \int x^{12}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{12}\, dx = \frac{x^{13}}{13}$

         Таким образом, результат будет: $- 1439576916627206 x^{13}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 2673499988021954 x^{11}\, dx = 2673499988021954 \int x^{11}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{11}\, dx = \frac{x^{12}}{12}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{1336749994010977 x^{12}}{6}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - 323170328222434 x^{10}\, dx = - 323170328222434 \int x^{10}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{10}\, dx = \frac{x^{11}}{11}$

         Таким образом, результат будет: $- 29379120747494 x^{11}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 32976564104330 x^{9}\, dx = 32976564104330 \int x^{9}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{9}\, dx = \frac{x^{10}}{10}$

         Таким образом, результат будет: $3297656410433 x^{10}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - 2826562637514 x^{8}\, dx = - 2826562637514 \int x^{8}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{8}\, dx = \frac{x^{9}}{9}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{942187545838 x^{9}}{3}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 201897331251 x^{7}\, dx = 201897331251 \int x^{7}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{7}\, dx = \frac{x^{8}}{8}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{201897331251 x^{8}}{8}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - 11876313603 x^{6}\, dx = - 11876313603 \int x^{6}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{6}\, dx = \frac{x^{7}}{7}$

         Таким образом, результат будет: $- 1696616229 x^{7}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 565538743 x^{5}\, dx = 565538743 \int x^{5}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{565538743 x^{6}}{6}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - 21260855 x^{4}\, dx = - 21260855 \int x^{4}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

         Таким образом, результат будет: $- 4252171 x^{5}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 607453 x^{3}\, dx = 607453 \int x^{3}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{607453 x^{4}}{4}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - 12397 x^{2}\, dx = - 12397 \int x^{2}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{12397 x^{3}}{3}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 161 x\, dx = 161 \int x\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{161 x^{2}}{2}$

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int -1\, dx = - x$

      Результат есть: $\frac{27368747340080916343 x^{24}}{24} - 3909821048582988049 x^{23} + \frac{12846554873915532161 x^{22}}{2} - \frac{20187443373295836253 x^{21}}{3} + \frac{20187443373295836253 x^{20}}{4} - 2883920481899405179 x^{19} + \frac{7827784165155528343 x^{18}}{6} - 479252091744216021 x^{17} + \frac{1163897937093096051 x^{16}}{8} - \frac{110847422580294862 x^{15}}{3} + 7917673041449633 x^{14} - 1439576916627206 x^{13} + \frac{1336749994010977 x^{12}}{6} - 29379120747494 x^{11} + 3297656410433 x^{10} - \frac{942187545838 x^{9}}{3} + \frac{201897331251 x^{8}}{8} - 1696616229 x^{7} + \frac{565538743 x^{6}}{6} - 4252171 x^{5} + \frac{607453 x^{4}}{4} - \frac{12397 x^{3}}{3} + \frac{161 x^{2}}{2} - x$

2. Теперь упростить:

   $\frac{1}{168} \left(7 x - 1\right)^{24}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{1}{168} \left(7 x - 1\right)^{24}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{1}{168} \left(7 x - 1\right)^{24}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                    
  /                                    
 |                                     
 |           23      676911619760230985
 |  (7*x - 1)   dx = ------------------
 |                           24        
/                                      
0                                      

$${{676911619760230985}\over{24}}$$

Численный ответ

2.8204650823343e+16

Ответ (Неопределённый)

  /                                
 |                               24
 |          23          (7*x - 1)  
 | (7*x - 1)   dx = C + -----------
 |                          168    
/                                  

$${{\left(7\,x-1\right)^{24}}\over{168}}$$