Интеграл (7*x+5)^3 (dx)

Вы ввели

  1              
  /              
 |               
 |           3   
 |  (7*x + 5)  dx
 |               
/                
0                

$$\int_{0}^{1} \left(7 x + 5\right)^{3}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = 7 x + 5$.

      Тогда пусть $du = 7 dx$ и подставим $\frac{du}{7}$:

      $\int u^{3}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int u^{3}\, du = \frac{1}{7} \int u^{3}\, du$

         1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{u^{4}}{28}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{1}{28} \left(7 x + 5\right)^{4}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(7 x + 5\right)^{3} = 343 x^{3} + 735 x^{2} + 525 x + 125$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 343 x^{3}\, dx = 343 \int x^{3}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{343 x^{4}}{4}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 735 x^{2}\, dx = 735 \int x^{2}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Таким образом, результат будет: $245 x^{3}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 525 x\, dx = 525 \int x\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{525 x^{2}}{2}$

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int 125\, dx = 125 x$

      Результат есть: $\frac{343 x^{4}}{4} + 245 x^{3} + \frac{525 x^{2}}{2} + 125 x$

2. Теперь упростить:

   $\frac{1}{28} \left(7 x + 5\right)^{4}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{1}{28} \left(7 x + 5\right)^{4}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{1}{28} \left(7 x + 5\right)^{4}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                       
  /                       
 |                        
 |           3            
 |  (7*x + 5)  dx = 2873/4
 |                        
/                         
0                         

$${{2873}\over{4}}$$

Численный ответ

718.25

Ответ (Неопределённый)

  /                              
 |                              4
 |          3          (7*x + 5) 
 | (7*x + 5)  dx = C + ----------
 |                         28    
/                                

$${{343\,x^4}\over{4}}+245\,x^3+{{525\,x^2}\over{2}}+125\,x$$