Интеграл (6-x)^2 (dx)

Вы ввели

  1            
  /            
 |             
 |         2   
 |  (6 - x)  dx
 |             
/              
0              

$$\int_{0}^{1} \left(- x + 6\right)^{2}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = - x + 6$.

      Тогда пусть $du = - dx$ и подставим $- du$:

      $\int u^{2}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int u^{2}\, du = - \int u^{2}\, du$

         1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{3}}{3}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- \frac{1}{3} \left(- x + 6\right)^{3}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(- x + 6\right)^{2} = x^{2} - 12 x + 36$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

         $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - 12 x\, dx = - 12 \int x\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Таким образом, результат будет: $- 6 x^{2}$

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int 36\, dx = 36 x$

      Результат есть: $\frac{x^{3}}{3} - 6 x^{2} + 36 x$

2. Теперь упростить:

   $\frac{1}{3} \left(x - 6\right)^{3}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{1}{3} \left(x - 6\right)^{3}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{1}{3} \left(x - 6\right)^{3}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                   
  /                   
 |                    
 |         2          
 |  (6 - x)  dx = 91/3
 |                    
/                     
0                     

$${{91}\over{3}}$$

Численный ответ

30.3333333333333

Ответ (Неопределённый)

  /                          
 |                          3
 |        2          (6 - x) 
 | (6 - x)  dx = C - --------
 |                      3    
/                            

$${{x^3}\over{3}}-6\,x^2+36\,x$$