Интеграл (6*x-1)^14 (dx)

Вы ввели

  1               
  /               
 |                
 |           14   
 |  (6*x - 1)   dx
 |                
/                 
0                 

$$\int_{0}^{1} \left(6 x - 1\right)^{14}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = 6 x - 1$.

      Тогда пусть $du = 6 dx$ и подставим $\frac{du}{6}$:

      $\int u^{14}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int u^{14}\, du = \frac{1}{6} \int u^{14}\, du$

         1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int u^{14}\, du = \frac{u^{15}}{15}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{u^{15}}{90}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{1}{90} \left(6 x - 1\right)^{15}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(6 x - 1\right)^{14} = 78364164096 x^{14} - 182849716224 x^{13} + 198087192576 x^{12} - 132058128384 x^{11} + 60526642176 x^{10} - 20175547392 x^{9} + 5043886848 x^{8} - 960740352 x^{7} + 140107968 x^{6} - 15567552 x^{5} + 1297296 x^{4} - 78624 x^{3} + 3276 x^{2} - 84 x + 1$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 78364164096 x^{14}\, dx = 78364164096 \int x^{14}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{14}\, dx = \frac{x^{15}}{15}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{26121388032 x^{15}}{5}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - 182849716224 x^{13}\, dx = - 182849716224 \int x^{13}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{13}\, dx = \frac{x^{14}}{14}$

         Таким образом, результат будет: $- 13060694016 x^{14}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 198087192576 x^{12}\, dx = 198087192576 \int x^{12}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{12}\, dx = \frac{x^{13}}{13}$

         Таким образом, результат будет: $15237476352 x^{13}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - 132058128384 x^{11}\, dx = - 132058128384 \int x^{11}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{11}\, dx = \frac{x^{12}}{12}$

         Таким образом, результат будет: $- 11004844032 x^{12}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 60526642176 x^{10}\, dx = 60526642176 \int x^{10}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{10}\, dx = \frac{x^{11}}{11}$

         Таким образом, результат будет: $5502422016 x^{11}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - 20175547392 x^{9}\, dx = - 20175547392 \int x^{9}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{9}\, dx = \frac{x^{10}}{10}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{10087773696 x^{10}}{5}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 5043886848 x^{8}\, dx = 5043886848 \int x^{8}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{8}\, dx = \frac{x^{9}}{9}$

         Таким образом, результат будет: $560431872 x^{9}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - 960740352 x^{7}\, dx = - 960740352 \int x^{7}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{7}\, dx = \frac{x^{8}}{8}$

         Таким образом, результат будет: $- 120092544 x^{8}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 140107968 x^{6}\, dx = 140107968 \int x^{6}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{6}\, dx = \frac{x^{7}}{7}$

         Таким образом, результат будет: $20015424 x^{7}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - 15567552 x^{5}\, dx = - 15567552 \int x^{5}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

         Таким образом, результат будет: $- 2594592 x^{6}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 1297296 x^{4}\, dx = 1297296 \int x^{4}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{1297296 x^{5}}{5}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - 78624 x^{3}\, dx = - 78624 \int x^{3}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Таким образом, результат будет: $- 19656 x^{4}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 3276 x^{2}\, dx = 3276 \int x^{2}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Таким образом, результат будет: $1092 x^{3}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - 84 x\, dx = - 84 \int x\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Таким образом, результат будет: $- 42 x^{2}$

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int 1\, dx = x$

      Результат есть: $\frac{26121388032 x^{15}}{5} - 13060694016 x^{14} + 15237476352 x^{13} - 11004844032 x^{12} + 5502422016 x^{11} - \frac{10087773696 x^{10}}{5} + 560431872 x^{9} - 120092544 x^{8} + 20015424 x^{7} - 2594592 x^{6} + \frac{1297296 x^{5}}{5} - 19656 x^{4} + 1092 x^{3} - 42 x^{2} + x$

2. Теперь упростить:

   $\frac{1}{90} \left(6 x - 1\right)^{15}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{1}{90} \left(6 x - 1\right)^{15}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{1}{90} \left(6 x - 1\right)^{15}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                              
  /                              
 |                               
 |           14                  
 |  (6*x - 1)   dx = 1695421007/5
 |                               
/                                
0                                

$${{1695421007}\over{5}}$$

Численный ответ

339084201.4

Ответ (Неопределённый)

  /                                
 |                               15
 |          14          (6*x - 1)  
 | (6*x - 1)   dx = C + -----------
 |                           90    
/                                  

$$\int \left(6 x - 1\right)^{14}\, dx = C + \frac{1}{90} \left(6 x - 1\right)^{15}$$