Интеграл 6^(5*x+2) (dx)

Вы ввели

  1            
  /            
 |             
 |   5*x + 2   
 |  6        dx
 |             
/              
0              

$$\int_{0}^{1} 6^{5 x + 2}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = 5 x + 2$.

      Тогда пусть $du = 5 dx$ и подставим $\frac{du}{5}$:

      $\int 6^{u}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 6^{u}\, du = \frac{1}{5} \int 6^{u}\, du$

         1. Интеграл экспоненциальной функции равен ему же, деленному на натуральный логарифм основания.

            $\int 6^{u}\, du = \frac{6^{u}}{\log{\left (6 \right )}}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{6^{u}}{5 \log{\left (6 \right )}}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{6^{5 x + 2}}{5 \log{\left (6 \right )}}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $6^{5 x + 2} = 36 \cdot 6^{5 x}$

   2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int 36 \cdot 6^{5 x}\, dx = 36 \int 6^{5 x}\, dx$

      1. пусть $u = 5 x$.

         Тогда пусть $du = 5 dx$ и подставим $\frac{du}{5}$:

         $\int 6^{u}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int 6^{u}\, du = \frac{1}{5} \int 6^{u}\, du$

            1. Интеграл экспоненциальной функции равен ему же, деленному на натуральный логарифм основания.

               $\int 6^{u}\, du = \frac{6^{u}}{\log{\left (6 \right )}}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{6^{u}}{5 \log{\left (6 \right )}}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\frac{6^{5 x}}{5 \log{\left (6 \right )}}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{36 \cdot 6^{5 x}}{5 \log{\left (6 \right )}}$

2. Теперь упростить:

   $\frac{36 \cdot 7776^{x}}{5 \log{\left (6 \right )}}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{36 \cdot 7776^{x}}{5 \log{\left (6 \right )}}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{36 \cdot 7776^{x}}{5 \log{\left (6 \right )}}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                     
  /                     
 |                      
 |   5*x + 2      55980 
 |  6        dx = ------
 |                log(6)
/                       
0                       

$${{55980}\over{\log 6}}$$

Численный ответ

31243.0328743388

Ответ (Неопределённый)

  /                          
 |                    5*x + 2
 |  5*x + 2          6       
 | 6        dx = C + --------
 |                   5*log(6)
/                            

$${{6^{5\,x+2}}\over{5\,\log 6}}$$