Интеграл sin(pi*x/l) (dx)

Вы ввели

  1             
  /             
 |              
 |     /pi*x\   
 |  sin|----| dx
 |     \ l  /   
 |              
/               
0               

$$\int_{0}^{1} \sin{\left (\frac{\pi x}{l} \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. пусть $u = \frac{\pi x}{l}$.

   Тогда пусть $du = \frac{\pi dx}{l}$ и подставим $\frac{du l}{\pi}$:

   $\int \sin{\left (u \right )}\, du$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \sin{\left (u \right )}\, du = \frac{l}{\pi} \int \sin{\left (u \right )}\, du$

      1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

         $\int \sin{\left (u \right )}\, du = - \cos{\left (u \right )}$

      Таким образом, результат будет: $- \frac{l}{\pi} \cos{\left (u \right )}$

   Если сейчас заменить $u$ ещё в:

   $- \frac{l}{\pi} \cos{\left (\frac{\pi x}{l} \right )}$

2. Теперь упростить:

   $- \frac{l}{\pi} \cos{\left (\frac{\pi x}{l} \right )}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- \frac{l}{\pi} \cos{\left (\frac{\pi x}{l} \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$- \frac{l}{\pi} \cos{\left (\frac{\pi x}{l} \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                /                    pi    
  /                |      0         for -- = 0
 |                 |                    l     
 |     /pi*x\      |                          
 |  sin|----| dx = <          /pi\            
 |     \ l  /      |     l*cos|--|            
 |                 |l         \l /            
/                  |-- - ---------  otherwise 
0                  \pi       pi               

$${{l}\over{\pi}}-{{l\,\cos \left({{\pi}\over{l}}\right)}\over{\pi}}$$

Ответ (Неопределённый)

  /                        /pi*x\
 |                    l*cos|----|
 |    /pi*x\               \ l  /
 | sin|----| dx = C - -----------
 |    \ l  /               pi    
 |                               
/                                

$$-{{l\,\cos \left({{\pi\,x}\over{l}}\right)}\over{\pi}}$$