Интеграл sin(pi*x/3) (dx)

Вы ввели

  1             
  /             
 |              
 |     /pi*x\   
 |  sin|----| dx
 |     \ 3  /   
 |              
/               
0               

$$\int_{0}^{1} \sin{\left (\frac{\pi x}{3} \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. пусть $u = \frac{\pi x}{3}$.

   Тогда пусть $du = \frac{\pi dx}{3}$ и подставим $\frac{3 du}{\pi}$:

   $\int \sin{\left (u \right )}\, du$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \sin{\left (u \right )}\, du = \frac{3}{\pi} \int \sin{\left (u \right )}\, du$

      1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

         $\int \sin{\left (u \right )}\, du = - \cos{\left (u \right )}$

      Таким образом, результат будет: $- \frac{3}{\pi} \cos{\left (u \right )}$

   Если сейчас заменить $u$ ещё в:

   $- \frac{3}{\pi} \cos{\left (\frac{\pi x}{3} \right )}$

2. Теперь упростить:

   $- \frac{3}{\pi} \cos{\left (\frac{\pi x}{3} \right )}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- \frac{3}{\pi} \cos{\left (\frac{\pi x}{3} \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$- \frac{3}{\pi} \cos{\left (\frac{\pi x}{3} \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                    
  /                    
 |                     
 |     /pi*x\       3  
 |  sin|----| dx = ----
 |     \ 3  /      2*pi
 |                     
/                      
0                      

$${{3}\over{\pi}}-{{3\,\cos \left({{\pi}\over{3}}\right)}\over{\pi}}$$

Численный ответ

0.477464829275686

Ответ (Неопределённый)

  /                        /pi*x\
 |                    3*cos|----|
 |    /pi*x\               \ 3  /
 | sin|----| dx = C - -----------
 |    \ 3  /               pi    
 |                               
/                                

$$-{{3\,\cos \left({{\pi\,x}\over{3}}\right)}\over{\pi}}$$